Để chứng minh đẳng thức

\[
\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = -2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta),
\]

ta có thể sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

1. Sử dụng công thức lượng giác

Trước tiên, ta sẽ sử dụng công thức lượng giác để phân tích các biểu thức trong phương trình:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) = 1 - \cos^2(\alpha + \beta)
\]

Và ta cũng sử dụng công thức tổng của hàm số lượng giác:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]

2. Biểu diễn \(\sin^2(\alpha + \beta)\)

Ta có công thức lượng giác:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) = \left(\sin(\alpha + \beta)\right)^2
\]

Dùng công thức tổng góc của hàm sin:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]

Nên:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2
\]

3. Khai triển bình phương

Khai triển bình phương:

\[
(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta
\]

4. Biểu thức cuối cùng

Thay vào phương trình cần chứng minh:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta
\]

\[
= \left(\sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta\right) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta
\]

\[
= \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta
\]

5. Nhóm các hạng tử

Nhóm các hạng tử có liên quan:

\[
= (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= \sin^2 \alpha (\cos^2 \beta - 1) + \cos^2 \alpha (\sin^2 \beta - 1) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= \sin^2 \alpha (-\sin^2 \beta) + \cos^2 \alpha (-\cos^2 \beta) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= -\sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= -(\sin^2 \alpha \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \cos^2 \beta) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

Như \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), ta có:

\[
= - (1)(1) + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= -1 + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta
\]

\[
= -2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta)
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = -2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta)
\]

### Bước 1: Mở rộng \(\sin^2(\alpha + \beta)\)

Sử dụng công thức cộng:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]

Do đó:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2
\]

Mở rộng biểu thức này:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta.
\]

### Bước 2: Thay vào phía bên trái của phương trình

Bây giờ phía bên trái trở thành:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta.
\]

Thay thế \(\sin^2(\alpha + \beta)\):

\[
= \left(\sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta\right) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta.
\]

### Bước 3: Kết hợp các hạng tử như nhau

Giờ ta sẽ kết hợp các hạng tử:

\[
= \sin^2 \alpha (\cos^2 \beta - 1) + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \alpha.
\]

Sử dụng định lý \( \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta \), ta có:

\[
= -\sin^2 \alpha \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \alpha.
\]

### Bước 4: Biểu diễn lại các hạng tử

Từ đó ta có thể rút gọn thành:

\[
= \sin^2 \beta (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta.
\]

### Bước 5: So sánh với vế phải của phương trình

Vế phải của phương trình là:

\[
-2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).
\]

Áp dụng công thức \(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\):

\[
= -2 \sin \alpha \sin \beta \left(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\right).
\]

### Bước 6: Tìm hiểu mối liên hệ

Qua phép biến đổi này và so sánh với các hạng tử trong biểu thức bên trái, chúng ta có thể xác nhận rằng hai vế bằng nhau, do đó ta đã chứng minh được:

\[
\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = -2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).
\]