Để phân tích các đa thức thành nhân tử, chúng ta cần tìm các yếu tố chung và sử dụng các kỹ thuật phân tích đại số. Dưới đây là phân tích cho từng bài toán.

### **Bài 1: Phân tích đa thức $x^6 - x^4 + 2x^3 + 2x^2$**

1. **Nhóm các hạng tử và tìm yếu tố chung**:

Nhóm các hạng tử có thể là:
$x^6 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 = (x^6 - x^4) + (2x^3 + 2x^2)$
Tìm yếu tố chung trong từng nhóm:
$x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$
$2x^3 + 2x^2 = 2x^2(x + 1)$
Kết hợp lại:
$x^6 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 = x^4(x^2 - 1) + 2x^2(x + 1)$

2. **Tiếp tục phân tích**:

Xem xét yếu tố chung trong toàn bộ đa thức:
$x^4(x^2 - 1) = x^4(x - 1)(x + 1)$
$2x^2(x + 1) = 2x^2(x + 1)$
Kết hợp yếu tố chung $(x + 1)$:
$x^4(x - 1)(x + 1) + 2x^2(x + 1) = (x + 1)(x^4(x - 1) + 2x^2)$
Tiếp tục phân tích $x^4(x - 1) + 2x^2$:
$x^4(x - 1) + 2x^2 = x^5 - x^4 + 2x^2$

Sau khi phân tích, ta có:
$x^6 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 = (x + 1)(x^4(x - 1) + 2x^2)$

Để đơn giản hơn, các nhóm có thể được phân tích thành:
$= (x + 1)(x^2(x - 1) + 2)$

### **Bài 2: Phân tích đa thức $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3$**

1. **Nhóm và sử dụng hằng đẳng thức**:

Chúng ta có dạng:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3$
Nhận thấy $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ là một dạng của $(x - 1)^3$:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$

2. **Thay vào và phân tích**:

Vậy đa thức trở thành:
$(x - 1)^3 - y^3$
Đây là dạng của hiệu hai lập phương:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Áp dụng với $a = x - 1$ và $b = y$:
$(x - 1)^3 - y^3 = [(x - 1) - y][(x - 1)^2 + (x - 1)y + y^2]$
Tiếp tục tính:
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
$(x - 1)^2 + (x - 1)y + y^2 = x^2 - 2x + 1 + xy - y + y^2$
$= x^2 + xy + y^2 - 2x - y + 1$

Kết quả cuối cùng:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3 = [(x - 1) - y][x^2 + xy + y^2 - 2x - y + 1]$

### **Bài 3: Phân tích đa thức $x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2 - x^2 + 1$**

1. **Nhóm các hạng tử và tìm yếu tố chung**:

Nhóm các hạng tử liên quan:
$x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2 - x^2 + 1$
Nhóm $x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2$:
$= (x^2 - 1)(x - 3)^2$
Kết hợp với $-x^2 + 1$:
$= (x^2 - 1)(x - 3)^2 - x^2 + 1$

2. **Phân tích thêm**:

Để phân tích, ta có thể viết lại:
$x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2 - x^2 + 1$
Nhóm hạng tử:
$= (x - 3)^2(x^2 - 1) - x^2 + 1$
$= (x - 3)^2(x^2 - 1) - (x^2 - 1)$
$= [(x - 3)^2 - 1](x^2 - 1)$
Tiếp tục phân tích $(x - 3)^2 - 1$:
$(x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)$
$= (x - 4)(x - 2)(x^2 - 1)$

Kết quả cuối cùng:
$x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2 - x^2 + 1 = (x - 4)(x - 2)(x^2 - 1)$

## BÀI 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. **$x^6 - x^4 + 2x^3 + 2x^2$**:

Ta có thể nhóm các hạng tử như sau:

$= x^4(x^2 - 1) + 2x^2(x + 1)$

$= x^4(x - 1)(x + 1) + 2x^2(x + 1)$

$= (x^4 + 2x^2)(x - 1)(x + 1)$

Để trọn vẹn, ta có thể đưa $x^2$ ra ngoài:

$= x^2(x^2 + 2)(x - 1)(x + 1)$

2. **$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3$**:

Đây là một tổng của hai khối, ta có thể viết lại thành:

$= (x^3 - y^3) - (3x^2 - 3x + 1) = (x-y)(x^2 + xy + y^2) - (3(x^2 - x) + 1)$

Khó phân tích hơn, có thể cần sử dụng phương pháp khác để tìm nghiệm cho $x, y$.

3. **$x^2(x - 3)^2 - (x - 3)^2 - x^2 + 1$**:

Nhóm:

$= (x^2 - 1)(x - 3)^2$

$= (x - 1)(x + 1)(x - 3)^2$

4. **$x^3 - 2x^2 + 4x - 8$**:

Áp dụng phương pháp nhóm:

$= x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4)$

5. **$x^2y - 4xy + 4y - 4y^3$**:

Nhóm:

$= y(x^2 - 4x + 4 - 4y^2)$

$= y((x - 2)^2 - 4y^2) = y((x - 2 - 2y)(x - 2 + 2y))$

6. **$2x^3y - 2xy^3 - 4xy^2 - 2xy$**:

Ta đưa ra 2xy:

$= 2xy(x^2 - y^2 - 2y - 1) = 2xy((x - 1)(x - 1) - (y + 1)(y - 1))$

7. **$x^4 - x^2 + 2x + 2$**:

Thử phân tích:

$= (x^2 + 2)(x^2 + 1)$

Không thể phân tích thêm.

## BÀI 2: Tìm x, biết

1. **$x^9 + x^8 - x - 1 = 0$**:

Sử dụng phương pháp thử nghiệm giá trị như $x = 1, -1$ và có thể sử dụng các phần mềm để tìm nghiệm.

2. **$8x^3 - 50x = 0$**:

$2x(4x^2 - 25) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^2 - 25 = 0$

$x^2 = \frac{25}{4} \implies x = \pm \frac{5}{2}.$

3. **$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$**:

Lập phương trình, thử nghiệm với giá trị $x = 1$:

$= (x - 1)(x^2 + 1) = 0 \implies x = 1 \quad (x^2 + 1) = 0 \text{ không có nghiệm thực.}$

4. **$4x^2 - 25 - (2x - 5)(2x + 5) = 0$**:

Phương trình là:

$4x^2 - 25 - (4x^2 - 25) = 0 \implies 0 = 0 \text{ luôn đúng.}$

5. **$2(x + 3) - x^2 - 3x = 0$**:

Tái sắp xếp:

$-x^2 - x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \implies (x - 2)(x + 3) = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } -3.$

6. **$x^2 + 5x - 6 = 0$**:

$= (x + 6)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -6 \text{ hoặc } 1.$

7. **$x^2 - 2x - 3 = 0$**:

$= (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } -1.$