Trong tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AB = 12 \, \text{cm}\), \(AC = 5 \, \text{cm}\) và \(BC = 13 \, \text{cm}\). Ta cần kẻ trung tuyến \(AM\) từ đỉnh \(A\) và tính độ dài của đoạn từ \(M\) đến \(H\) (cụ thể là \(MH\)), trong đó \(H\) là chân đường cao từ \(A\) đến \(BC\).

### Bước 1: Tính độ dài của đoạn \(AM\)

- **Bước 1.1:** Tính độ dài của đoạn \(BC\).
- Đoạn \(BC\) đã cho là \(13 \, \text{cm}\), đó là độ dài của cạnh huyền trong tam giác vuông tại \(A\).

- **Bước 1.2:** Tính độ dài của trung tuyến \(AM\).

- Trung tuyến \(AM\) chia cạnh \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau, nên từ định lý về độ dài trung tuyến:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]
- Trong đó:
- \(AB = 12 \, \text{cm}\)
- \(AC = 5 \, \text{cm}\)
- \(BC = 13 \, \text{cm}\)

- Thay các giá trị vào công thức:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 5^2 - 13^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot 25 - 169}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{288 + 50 - 169}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{169}
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5 \, \text{cm}
\]

### Bước 2: Tính độ dài của đoạn \(AH\)

- **Bước 2.1:** Tính độ dài của đoạn cao \(AH\).

- Dùng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(AHB\), với \(H\) là chân đường cao:
- \(AB = 12 \, \text{cm}\), \(BC = 13 \, \text{cm}\) và \(AC = 5 \, \text{cm}\), ta có thể tính độ cao \(AH\) bằng công thức Heron hoặc tính trực tiếp.

- Với cách tính trực tiếp từ diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]

- Diện tích có thể tính từ công thức Heron:
\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{12 + 5 + 13}{2} = 15
\]
\[
S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} = \sqrt{15(15 - 12)(15 - 5)(15 - 13)} = \sqrt{15 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}
\]

- **Bước 2.2:** Thay vào công thức diện tích:
\[
10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot AH \implies 20\sqrt{3} = 13 \cdot AH \implies AH = \frac{20\sqrt{3}}{13} \approx 4.62\, \text{cm}
\]

### Bước 3: Tính độ dài đoạn \(MH\)

- \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó:
\[
BM = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{cm}
\]

- Từ tam giác vuông \(AMH\), theo định lý Pythagoras:
\[
AM^2 = AH^2 + MH^2
\]
\[
MH^2 = AM^2 - AH^2
\]
\[
MH = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{(6.5)^2 - (4.62)^2}
\]
\[
= \sqrt{42.25 - 21.3444} = \sqrt{20.9056} \approx 4.58\, \text{cm}
\]

### Kết luận

Đoạn \(MH\) có độ dài khoảng:
\[
MH \approx 4.58 \, \text{cm}
\]