Để xét tính tăng giảm của dãy số \( U_n \) được cho bởi

\[
U_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1}
\]

ta cần xét sự biến thiên của dãy số này bằng cách tính đạo hàm của hàm số liên tục và xem xét dấu của đạo hàm. Tuy nhiên, vì đây là dãy số rời rạc, chúng ta sẽ xét sự tăng giảm của dãy bằng cách tính hiệu \( U_{n+1} - U_n \).

### 1. Tính hiệu \( U_{n+1} - U_n \)

Đầu tiên, tính \( U_{n+1} \):

\[
U_{n+1} = \frac{2(n+1)^2 - 1}{(n+1)^2 + 1}
\]

Tính toán \( (n+1)^2 \):

\[
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
\]

Vậy:

\[
2(n+1)^2 - 1 = 2(n^2 + 2n + 1) - 1 = 2n^2 + 4n + 2 - 1 = 2n^2 + 4n + 1
\]

Và:

\[
(n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2
\]

Do đó:

\[
U_{n+1} = \frac{2n^2 + 4n + 1}{n^2 + 2n + 2}
\]

Tính hiệu \( U_{n+1} - U_n \):

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{2n^2 + 4n + 1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1}
\]

Đưa về cùng mẫu số:

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{(2n^2 + 4n + 1)(n^2 + 1) - (2n^2 - 1)(n^2 + 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}
\]

Tính tử số của phân thức:

\[
(2n^2 + 4n + 1)(n^2 + 1) = 2n^4 + 2n^2 + 4n^3 + 4n + n^2 + 1 = 2n^4 + 4n^3 + 3n^2 + 4n + 1
\]

\[
(2n^2 - 1)(n^2 + 2n + 2) = 2n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^2 - 2n - 2 = 2n^4 + 4n^3 + 3n^2 - 2n - 2
\]

Hiệu tử số:

\[
(2n^4 + 4n^3 + 3n^2 + 4n + 1) - (2n^4 + 4n^3 + 3n^2 - 2n - 2) = 6n + 3
\]

Vậy:

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{6n + 3}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}
\]

### 2. Xét dấu của \( U_{n+1} - U_n \)

Để xác định dãy số có tăng hay giảm, ta cần xem xét dấu của \( U_{n+1} - U_n \):

- \( 6n + 3 \) luôn dương khi \( n \geq 0 \) (vì \( 6n + 3 > 0 \) cho mọi \( n \geq 0 \)).

- Mẫu số \( (n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1) \) là dương cho mọi giá trị của \( n \) (vì cả hai biểu thức trong mẫu số đều dương với \( n \geq 0 \)).

Vì tử số \( 6n + 3 \) luôn dương và mẫu số luôn dương, \( U_{n+1} - U_n > 0 \) cho mọi \( n \geq 0 \).

### Kết luận

Dãy số \( U_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1} \) là một dãy số tăng khi \( n \geq 0 \).

Để xét tính tăng giảm của dãy số Un𝑈𝑛 được cho bởi

Un=2n2−1n2+1𝑈𝑛=2𝑛2−1𝑛2+1

ta cần xét sự biến thiên của dãy số này bằng cách tính đạo hàm của hàm số liên tục và xem xét dấu của đạo hàm. Tuy nhiên, vì đây là dãy số rời rạc, chúng ta sẽ xét sự tăng giảm của dãy bằng cách tính hiệu Un+1−Un𝑈𝑛+1−𝑈𝑛.

### 1. Tính hiệu Un+1−Un𝑈𝑛+1−𝑈𝑛

Đầu tiên, tính Un+1𝑈𝑛+1:

Un+1=2(n+1)2−1(n+1)2+1𝑈𝑛+1=2(𝑛+1)2−1(𝑛+1)2+1

Tính toán (n+1)2(𝑛+1)2:

(n+1)2=n2+2n+1(𝑛+1)2=𝑛2+2𝑛+1

Vậy:

2(n+1)2−1=2(n2+2n+1)−1=2n2+4n+2−1=2n2+4n+12(𝑛+1)2−1=2(𝑛2+2𝑛+1)−1=2𝑛2+4𝑛+2−1=2𝑛2+4𝑛+1

Và:

(n+1)2+1=n2+2n+1+1=n2+2n+2(𝑛+1)2+1=𝑛2+2𝑛+1+1=𝑛2+2𝑛+2

Do đó:

Un+1=2n2+4n+1n2+2n+2𝑈𝑛+1=2𝑛2+4𝑛+1𝑛2+2𝑛+2

Tính hiệu Un+1−Un𝑈𝑛+1−𝑈𝑛:

Un+1−Un=2n2+4n+1n2+2n+2−2n2−1n2+1𝑈𝑛+1−𝑈𝑛=2𝑛2+4𝑛+1𝑛2+2𝑛+2−2𝑛2−1𝑛2+1

Đưa về cùng mẫu số:

Un+1−Un=(2n2+4n+1)(n2+1)−(2n2−1)(n2+2n+2)(n2+2n+2)(n2+1)𝑈𝑛+1−𝑈𝑛=(2𝑛2+4𝑛+1)(𝑛2+1)−(2𝑛2−1)(𝑛2+2𝑛+2)(𝑛2+2𝑛+2)(𝑛2+1)

Tính tử số của phân thức:

(2n2+4n+1)(n2+1)=2n4+2n2+4n3+4n+n2+1=2n4+4n3+3n2+4n+1(2𝑛2+4𝑛+1)(𝑛2+1)=2𝑛4+2𝑛2+4𝑛3+4𝑛+𝑛2+1=2𝑛4+4𝑛3+3𝑛2+4𝑛+1

(2n2−1)(n2+2n+2)=2n4+4n3+4n2−n2−2n−2=2n4+4n3+3n2−2n−2(2𝑛2−1)(𝑛2+2𝑛+2)=2𝑛4+4𝑛3+4𝑛2−𝑛2−2𝑛−2=2𝑛4+4𝑛3+3𝑛2−2𝑛−2

Hiệu tử số:

(2n4+4n3+3n2+4n+1)−(2n4+4n3+3n2−2n−2)=6n+3(2𝑛4+4𝑛3+3𝑛2+4𝑛+1)−(2𝑛4+4𝑛3+3𝑛2−2𝑛−2)=6𝑛+3

Vậy:

Un+1−Un=6n+3(n2+2n+2)(n2+1)𝑈𝑛+1−𝑈𝑛=6𝑛+3(𝑛2+2𝑛+2)(𝑛2+1)

### 2. Xét dấu của Un+1−Un𝑈𝑛+1−𝑈𝑛

Để xác định dãy số có tăng hay giảm, ta cần xem xét dấu của Un+1−Un𝑈𝑛+1−𝑈𝑛:

- 6n+36𝑛+3 luôn dương khi n≥0𝑛≥0 (vì 6n+3>06𝑛+3>0 cho mọi n≥0𝑛≥0).

- Mẫu số (n2+2n+2)(n2+1)(𝑛2+2𝑛+2)(𝑛2+1) là dương cho mọi giá trị của n𝑛 (vì cả hai biểu thức trong mẫu số đều dương với n≥0𝑛≥0).

Vì tử số 6n+36𝑛+3 luôn dương và mẫu số luôn dương, Un+1−Un>0𝑈𝑛+1−𝑈𝑛>0 cho mọi n≥0𝑛≥0.

### Kết luận

Dãy số Un=2n2−1n2+1𝑈𝑛=2𝑛2−1𝑛2+1 là một dãy số tăng khi n≥0𝑛≥0.