Để chứng minh \( n^6 + n^4 - 2n^2 \) chia hết cho 72 với mọi số nguyên \( n \), chúng ta cần chứng minh biểu thức này chia hết cho cả 8 và 9 (vì 72 = 8 × 9).

Chia hết cho 8:
Ta viết lại biểu thức cần chứng minh là:
\[
n^6 + n^4 - 2n^2
\]

Chúng ta sẽ xem xét biểu thức này với một số giá trị của \( n \) theo modulo 8 (nghĩa là phần dư khi chia cho 8). Vì \( n \) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 7 (theo modulo 8), chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp:

1. \( n \equiv 0 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 + 0 - 0 \equiv 0 \pmod{8}
\]

2. \( n \equiv 1 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 1^6 + 1^4 - 2 \cdot 1^2 \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \pmod{8}
\]

3. \( n \equiv 2 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 2^6 + 2^4 - 2 \cdot 2^2 \equiv 64 + 16 - 8 \equiv 0 \pmod{8}
\]

4. \( n \equiv 3 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 3^6 + 3^4 - 2 \cdot 3^2 \equiv 729 + 81 - 18 \equiv 792 \equiv 0 \pmod{8}
\]

5. \( n \equiv 4 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 4^6 + 4^4 - 2 \cdot 4^2 \equiv 4096 + 256 - 32 \equiv 4320 \equiv 0 \pmod{8}
\]

6. \( n \equiv 5 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 5^6 + 5^4 - 2 \cdot 5^2 \equiv 15625 + 625 - 50 \equiv 16200 \equiv 0 \pmod{8}
\]

7. \( n \equiv 6 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 6^6 + 6^4 - 2 \cdot 6^2 \equiv 46656 + 1296 - 72 \equiv 47980 \equiv 0 \pmod{8}
\]

8. \( n \equiv 7 \pmod{8} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 7^6 + 7^4 - 2 \cdot 7^2 \equiv 117649 + 2401 - 98 \equiv 119952 \equiv 0 \pmod{8}
\]

Vậy, biểu thức này chia hết cho 8 với mọi số nguyên \( n \).

Chia hết cho 9:
Tiếp theo, ta xét biểu thức modulo 9. Ta cần kiểm tra các giá trị của \( n \) từ 0 đến 8 (theo modulo 9):

1. \( n \equiv 0 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 + 0 - 0 \equiv 0 \pmod{9}
\]

2. \( n \equiv 1 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 1^6 + 1^4 - 2 \cdot 1^2 \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \pmod{9}
\]

3. \( n \equiv 2 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 2^6 + 2^4 - 2 \cdot 2^2 \equiv 64 + 16 - 8 \equiv 72 \equiv 0 \pmod{9}
\]

4. \( n \equiv 3 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 3^6 + 3^4 - 2 \cdot 3^2 \equiv 729 + 81 - 18 \equiv 792 \equiv 0 \pmod{9}
\]

5. \( n \equiv 4 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 4^6 + 4^4 - 2 \cdot 4^2 \equiv 4096 + 256 - 32 \equiv 4320 \equiv 0 \pmod{9}
\]

6. \( n \equiv 5 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 5^6 + 5^4 - 2 \cdot 5^2 \equiv 15625 + 625 - 50 \equiv 16200 \equiv 0 \pmod{9}
\]

7. \( n \equiv 6 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 6^6 + 6^4 - 2 \cdot 6^2 \equiv 46656 + 1296 - 72 \equiv 47980 \equiv 0 \pmod{9}
\]

8. \( n \equiv 7 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 7^6 + 7^4 - 2 \cdot 7^2 \equiv 117649 + 2401 - 98 \equiv 119952 \equiv 0 \pmod{9}
\]

9. \( n \equiv 8 \pmod{9} \):
\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 8^6 + 8^4 - 2 \cdot 8^2 \equiv 262144 + 4096 - 128 \equiv 266112 \equiv 0 \pmod{9}
\]

Vậy, biểu thức này cũng chia hết cho 9 với mọi số nguyên \( n \).

Vì \( n^6 + n^4 - 2n^2 \) chia hết cho cả 8 và 9, nên nó chia hết cho 72 với mọi số nguyên \( n \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( n^6 + n^4 - 2n^2 \) chia hết cho 72 với mọi số nguyên \( n \).

Để chứng minh rằng \( n^6 + n^4 - 2n^2 \) chia hết cho 72 với mọi số nguyên \( n \), trước tiên ta xét biểu thức trên:

\[
n^6 + n^4 - 2n2 = n^2(n^4 + n^2 - 2)
\]

Ta cần chứng minh rằng biểu thức \( n^2(n^4 + n^2 - 2) \) chia hết cho 72. Ta sẽ thực hiện việc này bằng cách minh cả \( n^2 \) và \( n^4 + n^2 - 2 \) đều có đủ điều kiện để chia hết cho các thừa số của 72.

### Phân tích 72

Ta có:

\[
72 = 8times 9 = 2^3 \times 3^2
\]

Do đó, chúng ta cần chứng minh \( n^2(n^4 + n^2 - 2) \) chia hết cho 8 và 9.

### Chứng minh chia hết 8

**Phân tích \( n^2 \):**

- Nếu \( n \) là số chẵn (2k với k là số nguyên), thì \( n^2 \) chia hết cho 4.
- Nếu \( n \) là số lẻ2k + 1 với k là số nguyên), thì \( n^2 \equiv 1 \mod 4 \).

Tuy nhiên, cần phải chia cho 8. Do đó ta xét \( n \mod 2 \):

1. **Nếu \( n \ chẵn:** Ta có \( n = 2k \), thì \( n^2 = 4k^2 \), và \( n^2(n^4 + n^2 - 2) \) luôn đủ điều kiện, vì với \( k \neq \), \( n^2 \) đã là 8.
2. **Nếu \( n \) lẻ:** Ta có \( n^2 \equiv 1 \mod 8 \). Khi đó, kiểm tra \( n^4 + n^2 - 2):

\[
n^4 \equiv 1 \mod 8 \quad \Rightarrow \quad n^4 + n^2 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \mod 8
\]

Таким ч, \( n^4 + n^2 - 2 \equiv 0 \mod 8 \).

Vì vậy, trong cả hai trường hợp, \( n^2(n^4 + n^2 - 2) \) chia hết cho 8.

Chứng minh chia hết cho 9

Ta xét các giá trị của \( n \) modulo 3:

- **Nếu \( n \equiv 0 \mod 3:** Ta có \( n^4 + n^2 - 2 \equiv 0 +0 - 2 \equiv 1 \mod 9 \). Nhưng chúng ta sẽ cần kiểm tra thêm các trường hợp.
- **Nếu \( n \equiv 1 \mod 3:**
\[
n^4 + n^2 - 2 \iv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]
- **Nếu \( n \equiv 2 \mod 3:**
\[
n^4 + n^2 - 2 \equiv 1 + 1 2 \equiv 0 \mod 3
\]

### Kết luận

Ta cần kiểm tra \( n^4 + n^2 - 2 \mod 9 \):

1. **Nếu \( n \equiv 0 \mod 3:** n^2(n^4 + n^2 - 2) \equiv 0 \)
2. **Nếu \( n \equiv 1 \mod 3:** \( n^2 \equiv 1 \), kiểm tra:
\[
1 + 1 2 \equiv 0 \mod 3 \quad Và \quad 1^2 \equiv 1
\]
3. **Nếu \( n \equiv 2 \mod 3:** \( n^2 \equiv 1 \)

T hợp lại các trường hợp:

- \( n^2 \) chia hết cả \( 8 \) và \( 9 \)

Vậy:

\[
n^2(n^4 + n^2 - 2) \equiv 0 \mod 72
\Do đó, ta rút ra kết luận rằng \( n^6 + n^4 - 2n^2 \) chia hết cho 72 với mọi số nguyên \( n \).

\[
\boxed{n^6 + n^4 - 2n^2 \text{ chia hết cho } 72}
\]