Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính tổng của dãy số \( -\frac{3}{11.14} - \frac{3}{14.17} - \frac{3}{17.20} - \cdots - \frac{3}{98.101} \), trước tiên, ta nhận thấy rằng các mẫu số có thể được mô tả bằng một công thức tổng quát.

1. Nhận diện Công Thức Chung

Dãy số có dạng tổng quát:
\[
-\frac{3}{(3n+8)(3n+11)}
\]
với \( n \) là chỉ số của hạng tử trong dãy.

2. Sử Dụng Phương Pháp Phân Tích Thành Phân Số

Ta có thể phân tích mỗi phân số thành dạng phân số đơn giản hơn bằng cách phân tích thành phần tử:

\[
-\frac{3}{(3n+8)(3n+11)} = -\frac{A}{3n+8} - \frac{B}{3n+11}
\]

Nhân cả hai vế với mẫu số chung \((3n+8)(3n+11)\) để tìm \( A \) và \( B \):

\[
-3 = A(3n+11) + B(3n+8)
\]

Tách hạng theo \( n \):

\[
-3 = (3A + 3B)n + (11A + 8B)
\]

Để phương trình này đúng cho mọi \( n \), hệ số của \( n \) và hằng số phải tương ứng với \( -3 \) và \( 0 \):

\[
3A + 3B = 0
\]
\[
11A + 8B = -3
\]

Giải hệ phương trình:

1. Từ \( 3A + 3B = 0 \), ta có \( A + B = 0 \) (tức là \( B = -A \)).
2. Thay vào phương trình thứ hai:

\[
11A + 8(-A) = -3
\]
\[
3A = -3
\]
\[
A = -1
\]
\[
B = 1
\]

Vậy ta có:

\[
-\frac{3}{(3n+8)(3n+11)} = \frac{-1}{3n+8} - \frac{1}{3n+11}
\]

3. Tính Tổng Dãy

Dãy cần tính tổng là:

\[
-\frac{3}{11 \cdot 14} - \frac{3}{14 \cdot 17} - \frac{3}{17 \cdot 20} - \cdots - \frac{3}{98 \cdot 101}
\]

Khi phân tích từng phân số, chúng ta nhận được dạng:

\[
-\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{14}\right) - \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{17}\right) - \left(\frac{1}{17} - \frac{1}{20}\right) - \cdots - \left(\frac{1}{98} - \frac{1}{101}\right)
\]

Tổng này là một dãy tách biệt. Phần trung gian giữa các phân số sẽ bị triệt tiêu, và chỉ còn lại hai phân số đầu tiên và cuối cùng:

\[
-\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{101}\right)
\]

Vậy tổng của dãy là:

\[
-\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{101}\right) = -\frac{1}{11} + \frac{1}{101}
\]

Tính giá trị cụ thể:

\[
-\frac{1}{11} + \frac{1}{101} = \frac{-101 + 11}{11 \cdot 101} = \frac{-90}{1111}
\]

Vậy tổng của dãy số là:

\[
\frac{-90}{1111}
\]

...Xem thêm

Answer 2