Để chứng minh đẳng thức \( \frac{\sin x + \cos x}{\sin^3 x} = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1 \), ta làm như sau:

Bước 1: Chuyển đổi \(\sin x + \cos x\) thành dạng cộng dồn:
\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]

Bước 2: Thay vào đẳng thức ban đầu:
\[ \frac{\sin x + \cos x}{\sin^3 x} = \frac{\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin^3 x} \]

Bước 3: Chuyển \(\sin^3 x\) về dạng \(\frac{1}{\sin^3 x} = \cot^3 x\):
\[ \frac{\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin^3 x} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin^3 x} = \sqrt{2} \cdot \cot^3 x \]

Bước 4: Chứng minh \(\cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1\):
\[ \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1 = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x} \]

\[ = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + \frac{1}{\sin^3 x} \]

\[ = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin^3 x} \]

Vậy nên ta đã chứng minh được đẳng thức:
\[ \frac{\sin x + \cos x}{\sin^3 x} = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1 \]

Đáp án là \( \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1 \).

Chắc chắn rồi! Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
\fracsin x + \cos x}{\sin^3 x} = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1
\]

úng ta sẽ làm bước một.

### Bước 1: Đặt lại cotangent

Đầu tiên, hãy nhớ rằng:

\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\]

Do đó, \( \cot^2 x \ và \( \cot^3 x \) có thể viết như sau:

\[
\cot^2 x = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}
\]
\[
cot^3 x \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^3 = \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x}
\]

Vậy cả biểu thức bên phải trở thành:

\[
\cot^3 x + \^2 x + \cot x + 1 = \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin x} + 1
\]

Bước 2: Đưa về mẫu số chung

Để cộng tất cả các phần lại, chúng ta nên đưa tất cả về mẫu số chung \( \sin^3 x \):

\[
\cot^ x + \cot^2 x + \cot x 1 = \frac{\cos^3 x}{\sin^ x} + \frac{\cos^2 x \sin x}{sin^3 x} + \frac{\cos x \sin^2 x}{\sin^3 x} + \fracsin^3 x}{\sin^3 x}
\]

Nên đẳng thức trên sẽ trở thành:

\[
\frac{\cos3 x + \cos^2 x \sin x + \cos x \sin^2 x + \sin^3 x\sin^3 x}
\]

### Bước 3: Xét biểu thức trong tử số

Bây giờ ta cần chứng minh rằng:

\[
\sin x + \cos x = \cos^ x + \cos^2 x \sin x + \cos x \sin^2 x + \sin^3 x
\]

Biểu thức bên phải có thể nhóm như sau:

\[
= \cos^3 x + \sin^3 x + \cos^2 x \sin x + \cos x \sin2 x
\]

Chúng ta có thể sử dụng công thức phân tích tổng của một bậc ba:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong trường hợp này, a = \cos x \) và \( b = \sin x \):

\[
\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)((\cos x)^2 - \cos x \sin x + (\sin x)^2 = (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)
\]

Biểu thức bên phải bây giờ trở:

\[
(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) + \cos^2 x \ x + \cos x \sin^2 x
\]

### Bước 4: Nhóm thêm hạng tử

Ta biết rằng:

\[
\cos^2 x \sin x + \cos x \sin^2 x = \sin x \cos xcos x + \sin x)
\]

Giờ đây, biểu thức trong dấu ngoặc trở thành:

\[
(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x + \sin x \cos x) = (\cos x + \sin x\]

### Bước 5: Kết luận

Vậy, khi bạn nhóm lại đủ các thành phần, ta ra được:

\[
\sin x + \cos x = \sin x + \cos x
\]

Do đó, đẳng thức ban đầu được chứng minh:

\[
\frac{\sin x + \cos x}{\sin^3 x} = \cot^3 x + \cot^2 x + \cot x + 1
\]

Kết quả chứng minh thành công!