Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính giá trị của \( P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \), khi \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa \( a \), \( b \), và \( c \)

Từ phương trình:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \]

Ta có:
\[ \frac{a b + b c + c a}{a b c} = 0 \]

Vậy:
\[ a b + b c + c a = 0 \]

Bước 2: Tính giá trị của \( P \)

Ta cần tính:
\[ P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \]

Thay \( a b + b c + c a = 0 \) vào biểu thức:
\[ a b + b c + c a = 0 \]

Bước 3: Sử dụng công thức tương đương

Với:
\[ a b + b c + c a = 0 \]
Ta có thể viết lại dưới dạng bình phương:
\[ (a b + b c + c a)^2 = 0 \]

Khai triển biểu thức bình phương:
\[ (a b + b c + c a)^2 = a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b b c + 2 b c c a + 2 c a a b \]
\[ = a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b c (a + b + c) \]

Vì \( a b + b c + c a = 0 \), nên:
\[ (a b + b c + c a)^2 = 0 \]
\[ a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b c (a + b + c) = 0 \]

Vì:
\[ a b c (a + b + c) = 0 \]
Suy ra:
\[ a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 = 0 \]

Vì:
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \]

Bước 4: Tính \( P \)

Thay vào biểu thức của \( P \):
\[ P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \]

Từ \( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \), ta có:
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \]

Do đó:
\[ P = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + 2(ab + ac - bc) \]
\[ = 0 + 2(ab + ac - bc) \]
\[ = 0 \]

Vậy:
\[ P = 0 \]

...Xem thêm

Answer 2

Để tính giá trị của \( P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \), khi \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa \( a \), \( b \), và \( c \)

Từ phương trình:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \]

Ta có:
\[ \frac{a b + b c + c a}{a b c} = 0 \]

Vậy:
\[ a b + b c + c a = 0 \]

Bước 2: Tính giá trị của \( P \)

Ta cần tính:
\[ P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \]

Thay \( a b + b c + c a = 0 \) vào biểu thức:
\[ a b + b c + c a = 0 \]

Bước 3: Sử dụng công thức tương đương

Với:
\[ a b + b c + c a = 0 \]
Ta có thể viết lại dưới dạng bình phương:
\[ (a b + b c + c a)^2 = 0 \]

Khai triển biểu thức bình phương:
\[ (a b + b c + c a)^2 = a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b b c + 2 b c c a + 2 c a a b \]
\[ = a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b c (a + b + c) \]

Vì \( a b + b c + c a = 0 \), nên:
\[ (a b + b c + c a)^2 = 0 \]
\[ a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a b c (a + b + c) = 0 \]

Vì:
\[ a b c (a + b + c) = 0 \]
Suy ra:
\[ a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 = 0 \]

Vì:
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \]

Bước 4: Tính \( P \)

Thay vào biểu thức của \( P \):
\[ P = \frac{1}{a^2} - 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \]

Từ \( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \), ta có:
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0 \]

Do đó:
\[ P = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + 2(ab + ac - bc) \]
\[ = 0 + 2(ab + ac - bc) \]
\[ = 0 \]

Vậy:
\[ P = 0 \]

Answer 3

Giả thiết:

a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau.

`\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0`

Cần tính:

`P=\frac{1}{a^2}+2bc+\frac{1}{b^2}+2ac+\frac{1}{c^2}+2ab`

Giải:

Từ giả thiết, ta có:

`\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0`

`\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=0`

`\Leftrightarrow ab+bc+ca=0`

`P=\frac{1}{a^2}+2bc+\frac{1}{b^2}+2ac+\frac{1}{c^2}+2ab`

`=(\frac{1}{a^2}+2ab+\frac{1}{b^2})+(\frac{1}{b^2}+2bc+\frac{1}{c^2})+2ac`

`=(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2})+(\frac{b^2+2bc+c^2}{b^2c^2})+2ac`

`=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}+2ac`

`\left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\right)^2\ge\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\cdot\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\right)^2`

`\Leftrightarrow \left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\right)^2\ge 1`

`\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\ge 1`

`\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\ge 1`

`\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}\ge 1`

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Do đó, `P=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}+2ac\ge 1+2ac`

`=>`Giá trị nhỏ nhất của P là 1+2ac, đạt được khi a=b=c.

...Xem thêm

Answer 4

Giả thiết:

a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau.

`\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0`

Cần tính:

`P=\frac{1}{a^2}+2bc+\frac{1}{b^2}+2ac+\frac{1}{c^2}+2ab`

Giải:

Từ giả thiết, ta có:

`\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0`

`\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=0`

`\Leftrightarrow ab+bc+ca=0`

`P=\frac{1}{a^2}+2bc+\frac{1}{b^2}+2ac+\frac{1}{c^2}+2ab`

`=(\frac{1}{a^2}+2ab+\frac{1}{b^2})+(\frac{1}{b^2}+2bc+\frac{1}{c^2})+2ac`

`=(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2})+(\frac{b^2+2bc+c^2}{b^2c^2})+2ac`

`=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}+2ac`

`\left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\right)^2\ge\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\cdot\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\right)^2`

`\Leftrightarrow \left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\right)^2\ge 1`

`\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\ge 1`

`\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}\ge 1`

`\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}\ge 1`

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Do đó, `P=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2c^2}+2ac\ge 1+2ac`

`=>`Giá trị nhỏ nhất của P là 1+2ac, đạt được khi a=b=c.

3 câu trả lời 546

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8