Để phân tích đa thức $x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1$ thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức bậc cao.

Đầu tiên, chúng ta thấy các hệ số của đa thức này đều là số nguyên. Một phương pháp phổ biến để phân tích đa thức này là tìm các ước số của hệ số tổng của các hệ số và kiểm tra xem chúng có phải là các ước số của hệ số tổng hay không.

Ta có:
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x + 1)^2.$

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng công thức hoàn hảo bậc hai:
$(x^2 + x + 1)^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 1).$

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân đôi phép nhân này bằng cách triển khai từng bước:
$(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 1) = x^2(x^2 + x + 1) + x(x^2 + x + 1) + 1(x^2 + x + 1).$

Tiếp tục triển khai:
$= x^4 + x^3 + x^2 + x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1.$

Kết quả là:
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1.$

Vậy nên:
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x + 1)^2.$

Do đó, đa thức đã được phân tích thành nhân tử là:
$\boxed{(x^2 + x + 1)^2}.$

Dưới đây là các phân tích thành nhân tử cho từng đa thức mà bạn yêu cầu:

### a. Phân tích $x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1$

Đa thức này có thể được phân tích bằng cách nhóm hoặc tìm kiếm một mẫu. Ta thử thực hiện bằng phương pháp nhóm:

$x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1)$

Nhóm lại:

$= x^2(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1)$

Nhận thấy $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$:

$= x^2(x+1)^2 + 1(x+1)^2$

Gộp lại:

$= (x^2 + 1)(x + 1)^2$

### Đáp án cho a:
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)^2$

---

### b. Phân tích $x^2y + xy^2 + x^2z + y^2z + 2xyz$

Ta có thể nhóm các số hạng theo cách sau:

$= xy(x + y) + z(x^2 + y^2 + 2xy)$

Rút gọn phần $x^2 + y^2 + 2xy$ thành $(x+y)^2$:

$= xy(x + y) + z(x + y)^2$

Nhóm tiếp:

$= (x + y)(xy + z(x + y))$

### Đáp án cho b:
$x^2y + xy^2 + x^2z + y^2z + 2xyz = (x+y)(xy + z(x+y))$

---

### c. Phân tích $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

Đa thức này là một dạng của chuỗi hình học. Ta có thể viết lại nó như sau:

$= \frac{x^6 - 1}{x - 1} \quad \text{(nếu } x \neq 1\text{)}$

Vì $x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$, phân tích:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Vậy:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

Vì vậy, ta có thể viết:

$x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)}{x - 1} = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

### Đáp án cho c:
$x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

---

Tóm lại:
- a. $(x^2 + 1)(x + 1)^2$
- b. $(x+y)(xy + z(x+y))$
- c. $(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$