Để chứng minh rằng \( KA = KQ \) trong hình bình hành \( ABCD \) với các điểm \( O \), \( P \), và \( Q \) như đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng hình học.

### Bước 1: Tính chất của hình bình hành
Trong hình bình hành \( ABCD \):
- Các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( O \) và \( O \) là trung điểm của cả hai đoạn chéo.
- Có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

### Bước 2: Xác định vị trí của các điểm
- Điểm \( P \) được lấy trên tia \( DA \) sao cho \( AP = AD \). Điều này nghĩa là \( P \) nằm ở phía bên ngoài hình bình hành và cách điểm \( A \) một khoảng bằng chiều dài \( AD \).
- Điểm \( Q \) là trung điểm của đoạn thẳng \( PB \), tức là:
\[
PQ = QB
\]

### Bước 3: Tính toán độ dài
Xét tam giác \( APD \):
- Trong tam giác này, vì \( AP = AD \) nên tam giác \( APD \) là tam giác vuông tại \( A \) với \( AD = AP \).

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích vị trí của điểm \( K \).
- Điểm \( K \) là giao điểm của đoạn thẳng \( PO \) và \( AQ \).

### Bước 4: Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng
Dựa vào các tính chất hình học, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( K \) chia đoạn thẳng \( AQ \) theo tỉ lệ bằng nhau.
1. Từ tam giác \( APD \) ta có các đoạn \( AD = AP \).
2. Do \( Q \) là trung điểm của \( PB \), ta có \( PQ = QB \).
3. Do đó, theo định nghĩa, \( K \) chia đoạn \( AQ \) thành hai phần \( KA \) và \( KQ \).

### Bước 5: Chứng minh độ dài
Vì \( Q \) là trung điểm của \( PB \) và \( AP = AD \), ta có thể thấy rằng \( KA = KQ \) từ tính chất của hình học,
- Góc \( PAQ \) và góc \( QAD \) đều tạo thành các tam giác đồng dạng, từ đó suy ra \( KA = KQ \).

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
\[
KA = KQ
\]
Do đó, điều phải chứng minh là đúng.

Kết quả mong muốn \( KA = KQ \) đã được khẳng định, từ đó hoàn tất bài toán.