a) \( y = x^2 - 4 \), trục hoành, \( x = 0 \), \( x = 3 \)

Để tìm diện tích hình phẳng giữa đồ thị \( y = x^2 - 4 \) và trục hoành từ \( x = 0 \) đến \( x = 3 \), ta tích phân hàm số \( y = x^2 - 4 \) từ 0 đến 3 và lấy giá trị tuyệt đối của tích phân.

\[
A = \int_{0}^{3} |x^2 - 4| \, dx
\]

Trước tiên, ta tìm điểm cắt giữa đồ thị và trục hoành bằng cách giải phương trình \( x^2 - 4 = 0 \):

\[
x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2
\]

Trong đoạn \( [0, 3] \), hàm số \( x^2 - 4 \) âm trong đoạn \( [0, 2] \) và dương trong đoạn \( [2, 3] \).

Vì vậy, ta tính tích phân từ 0 đến 2 với hàm số \( -(x^2 - 4) \) và từ 2 đến 3 với hàm số \( x^2 - 4 \):

\[
A = \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx
\]

Tính từng tích phân:

\[
\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\]

\[
\int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{27}{3} - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = \left( 9 - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9 + 16}{3} = \frac{7}{3}
\]

Vậy diện tích là:

\[
A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}
\]

 b) \( y = e^x \), \( y = x^2 - 1 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \)

Diện tích hình phẳng giữa \( y = e^x \) và \( y = x^2 - 1 \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) là:

\[
A = \int_{-1}^{1} |e^x - (x^2 - 1)| \, dx
\]

Ta xác định hàm nào lớn hơn trong đoạn này. Trong đoạn từ -1 đến 1, hàm \( e^x \) lớn hơn \( x^2 - 1 \). Vì vậy:

\[
A = \int_{-1}^{1} (e^x - x^2 + 1) \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-1}^{1} = e - \frac{1}{e}
\]

\[
\int_{-1}^{1} 1 \, dx = x \Bigg|_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2
\]

\[
\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}
\]

Vậy diện tích là:

\[
A = \left( e - \frac{1}{e} \right) + 2 - \frac{2}{3} = e - \frac{1}{e} + \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}
\]

c) \( y = 5x - x \), \( y = x \), \( x = 0 \), \( x = 4 \)

Đồ thị \( y = 5x - x = 4x \) và \( y = x \):

Ta tính diện tích hình phẳng giữa hai đường này từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \):

\[
A = \int_{0}^{4} (4x - x) \, dx = \int_{0}^{4} 3x \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_{0}^{4} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24
\]

 d) \( y = \sin x \), \( y = x \), \( x = \frac{\pi}{2} \), \( x = \pi \)

Đồ thị \( y = \sin x \) và \( y = x \):

Ta tính diện tích hình phẳng giữa hai đường này từ \( x = \frac{\pi}{2} \) đến \( x = \pi \):

\[
A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\sin x - x) \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi + \cos \frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1
\]

\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{4\pi^2 - \pi^2}{8} = \frac{3\pi^2}{8}
\]

Vậy diện tích là:

\[
A = 1 - \frac{3\pi^2}{8}
\]

e) \( y = \sin x \), \( y = \cos x \), \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{4} \)

Đồ thị \( y = \sin x \) và \( y = \cos x \):

Ta tính diện tích hình phẳng giữa hai đường này từ \( x = 0 \) đến \( x = \frac{\pi}{4} \):

\[
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\sin x - \cos x| \, dx
\]

Vì trong khoảng \( x = 0 \) đến \( x = \frac{\pi}{4} \), \( \cos x \) lớn hơn \( \sin x \):

\[
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin x \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} - \sin 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = -\cos x \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos \frac{\pi}{4} + \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1
\]

Vậy diện tích là:

\[
A = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1
\]