Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng câu một:

### a) CM: \(\triangle ABM \sim \triangle ECM\)

**Chứng minh:**

Ta có \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).

Vì \( ME = MA \) và \( MA \) là tia đối của \( MA \), nên \( \angle EMA = \angle MAB \).

Do \( ME = MA \), ta có \( \angle EAM = \angle AME = \angle BMA \).

Do đó, \( \triangle ABM \sim \triangle ECM \) (theo định lí góc đồng dạng vì có cặp góc bằng nhau).

### b) CM: \( AC \parallel BE \)

**Chứng minh:**

Vì \( ME = MA \), nên \( E \) nằm trên tia đối của \( MA \).

Với \( \triangle ABM \sim \triangle ECM \) từ câu a), ta có \( \frac{AB}{BM} = \frac{EC}{CM} \).

\( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \).

Từ đó, \( \frac{AB}{BM} = \frac{EC}{CM} \) tương đương với \( \frac{AB}{MC} = \frac{EC}{CM} \).

Vậy, theo định lý tỉ số điểm nội tiếp, ta có \( AC \parallel BE \).

### c) Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng

**Chứng minh:**

Vì \( AI = EK \) và \( AI \parallel EK \) (vì \( AC \parallel BE \) từ câu b)).

Do đó, các điểm \( A, I, K, E \) cùng thuộc một đường thẳng.

Vì \( M \) nằm trên \( AI \) (tia MA) và \( M \) nằm trên \( EK \) (tia EM), nên \( I, M, K \) thẳng hàng.

### d) So sánh góc \( \angle MAB \) và \( \angle MAC \)

Vì \( \triangle ABM \sim \triangle ECM \), nên \( \angle MAB = \angle MCE \).

Và vì \( ME = MA \), nên \( \angle MAE = \angle MEA = \angle MAB \).

Vậy, \( \angle MAB = \angle MAC \).

Do đó, \( \angle MAB = \angle MAC \).

**Kết luận:**

a) Đúng (\( \triangle ABM \sim \triangle ECM \))

b) Đúng (\( AC \parallel BE \))

c) Đúng (Ba điểm \( I, M, K \) thẳng hàng)

d) \( \angle MAB = \angle MAC \)

Đây là cách giải chi tiết từng câu của bài toán.

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo trình tự.

### a) Chứng minh: tam giác ABM = tam giác ECM

Để chứng minh hai tam giác ABM và ECM bằng nhau (tức là có diện tích bằng nhau), chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác.

- **Điểm M là trung điểm của BC** nên \( BM = MC \).
- **ME = MA** theo đề bài, do đó hai đoạn thẳng MA và ME có độ dài bằng nhau.

Về phương diện góc:
- Góc \( \angle ABM = \angle ECM \) (góc chung tại điểm M).
- Dựa vào các yếu tố đã kể trên, ta có:

Do đó, hai tam giác ABM và ECM có:

- Cạnh BM = cạnh MC (cùng bằng \( x \)),
- Cạnh AM = cạnh ME (cùng bằng \( MA \)),
- Góc ABM = góc ECM.

=> Áp dụng điều kiện cạnh - cạnh - góc, ta kết luận rằng:

\[
\Delta ABM \cong \Delta ECM
\]

### b) Chứng minh: AC // BE

Để chứng minh rằng AC song song với BE, ta sử dụng tính chất của hai tam giác đã chứng minh ở phần a.

- Từ sự đồng nhất của tam giác ABM và ECM, ta có:

\[
AB = EC \quad \text{(do tam giác ABM và ECM bằng nhau)}
\]

- Theo định lý về các đường song song, có thể áp dụng rằng nếu hai tam giác có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và có một góc bằng nhau, thì các cạnh còn lại cũng được xác lập theo tính chất song song.

Ta có:
\[
ABM \sim ECM \implies AC // BE
\]

### c) Chứng minh ba điểm I;M;K thẳng hàng

Ta có \( AI = EK \), với I trên AC và K trên EB.

- Từ \( AI = EK \), ta có thể viết lại như sau: \( \frac{AI}{EK} = 1 \) (tỉ lệ bằng 1).

Giả sử I, M và K nằm trên cùng một đường thẳng thì ta cần chứng minh rằng \( \frac{IM}{MK} \) cũng đồng nhất với tỷ lệ này.

- Về cách nhìn hình học:
- Từ tam giác ABM và ECM, vì M là trung điểm của BC nên tỉ lệ AB:BM = AI:IM.

- Do đó:
\[
\frac{AI}{EK} = 1 \implies AI = EK = IM + MK
\]
Kết luận rằng I, M và K thẳng hàng.

### d) So sánh góc MAB và MAC

Chúng ta hãy xem xét góc MAB và MAC:

- **Theo tính chất của các hình dạng** từ tam giác EC:
- Vì AC // BE, nên góc MAB và góc AEC chắn chắn có một mối quan hệ nhất định.

- Thêm vào đó, do AB < AC nên ta có:
\[
m{\angle MAB} < m{\angle MAC}
\]

Do đó, chúng ta có \( \angle MAB < \angle MAC \).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn tất chứng minh các khía cạnh của bài toán từ chứng minh đồng nhất của các tam giác, tính song song, sự thẳng hàng của ba điểm và so sánh các góc.