Để tìm diện tích tam giác \(OAB\) với \(O\) là gốc tọa độ, và \(A\) và \(B\) là hai điểm giao của hai đường thẳng \(y = x + 1\) và \(y = x^2 - x - 2\), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường \(y = x + 1\) và \(y = x^2 - x - 2\)

Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình:
\[ x + 1 = x^2 - x - 2 \]

Đưa tất cả các hạng tử về một vế:
\[ x^2 - x - 2 - x - 1 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \(a = 1\), \(b = -2\), và \(c = -3\), ta có:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ x = 3 \]
\[ x = -1 \]

### Bước 2: Tìm tọa độ của \(A\) và \(B\)

Thay các giá trị \(x\) vào phương trình \(y = x + 1\) để tìm tọa độ \(y\):
- Khi \(x = 3\):
\[ y = 3 + 1 = 4 \]
Vậy, \(A(3, 4)\).

- Khi \(x = -1\):
\[ y = -1 + 1 = 0 \]
Vậy, \(B(-1, 0)\).

### Bước 3: Tính diện tích tam giác \(OAB\)

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác với các đỉnh có tọa độ \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), và \((x_3, y_3)\):
\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Với \(O(0, 0)\), \(A(3, 4)\), và \(B(-1, 0)\), ta có:
\[ S = \frac{1}{2} \left| 0(4 - 0) + 3(0 - 0) + (-1)(0 - 4) \right| \]
\[ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 4 \right| \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 4 \]
\[ S = 2 \]

Vậy, diện tích tam giác \(OAB\) là:
\[ S = 2 \]