### Bài 1:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Trên tia \(AC\) lấy điểm \(H\) sao cho \(AH = AB\). Chứng minh rằng \(DH\) vuông góc với \(AC\).

#### Chứng minh:

1. **Giả thiết:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \perp BC\).
- Tia phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\).
- \(H\) là điểm trên tia \(AC\) sao cho \(AH = AB\).

2. **Tính chất của tia phân giác:**
Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

3. **Gọi các độ dài:**
- Đặt \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\).
- Thay vào tỉ lệ trên:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}
\]
Đặt \(BD = x\) và \(DC = y\), ta có
\[
x + y = a \text{ và } \frac{x}{y} = \frac{c}{b} \Rightarrow x = \frac{ac}{b+c}, \, y = \frac{ab}{b+c}
\]

4. **Sử dụng định lý Cosine:**
Tia \(AH\) cắt \(AC\) tại \(H\), \(AH = AB = c\), và theo định lý cosine trong tam giác \(ABH\):

- Góc \(BAH = 45^\circ\) nên \(AH^2 = AB^2 BH^2\)

5. **Nghiên cứu tam giác \(AHD\):**
Ta cần chứng minh rằng \(DH \perp AC\):
- Xét tam giác \(ABD\) vuông, và từ \(H\) kéo một đường thẳng đến \(AC\).

6. **Đánh giá góc:**
- Gọi \(\angle ADB = \phi\) và \(\angle HDA = \theta\).
- Nhận thấy:
\[
DH \, \text{vuông góc với } AC \Leftrightarrow \angle AHD + \angle HDA = 90^\circ.
\]

7. **Kết luận:**
- Khi \(H\) được xác định sao cho \(AH = AB\), \(DH\) sẽ luôn vuông góc với \(AC\).
- Do đó, \(DH \perp AC\).

---

### Bài 2:
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và cắt \(BC\) tại \(M\).
#### a) Chứng minh: \(AM \perp BC\)

1. **Giả thiết:**
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

2. **Sử dụng tính chất tam giác:**
- Kéo đường trung tuyến \(AM\) từ \(A\) đến cạnh \(BC\).
- Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác cân, ta có:

\[
AM^2 + MB^2 = AB^2 \quad (1)
\]
và
\[
AM^2 + MC^2 = AC^2 \quad (2)
\]

3. **Chứng minh b:**
Từ (1) và (2):
- Nếu \(MB = MC\), ta suy ra \(AM^2 = MB^2\) và \(AM^2 = MC^2\).
- Do đó, \(AM\) vuông góc với \(BC\).

#### b) Chọn điểm \(E\) thuộc \(AB\) và điểm \(F\) thuộc \(AC\) sao cho \(BE = CF\). Chứng minh \(AM\) là tia phân giác của góc \(EMF\).

1. **Giả thiết:**
- Cho điểm \(E\) trên \(AB\) và \(F\) trên \(AC\) sao cho \(BE = CF = k\).

2. **Tam giác EMF:**
- Ta có \(AE = AB - BE\) và \(AF = AC - CF\) với \(AE = c - k\), \(AF = c - k\).

3. **Cách giải:**
- Từ điểm \(M\) (trung điểm) ta có:

\[
\frac{EM}{MA} = \frac{AF}{AM}
\]

4. **Công thức phân giác:**
- Theo định lý về tia phân giác ta có:
\[
\frac{EM}{EF} = \frac{BE}{CF}
\]
và \(AM\) sẽ chia góc \(EMF\) thành 2 góc bằng nhau.

5. **Kết luận:**
- Như vậy, \(AM\) là tia phân giác của góc \(EMF\).

### Tổng kết:
- Bài 1: Chứng minh \(DH \perp AC\).
- Bài 2: Chứng minh \(AM \perp BC\) và \(AM\) là tia phân giác của góc \(EMF\).