Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + m \) có giá trị nhỏ nhất là -4 trên đoạn [0, 2], ta làm như sau:

1. Đầu tiên, tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + m \). Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, đạo hàm của nó phải bằng 0:

\( y' = 3x^2 - 12x + 9 \)

2. Giải phương trình đạo hàm để tìm các điểm cực tiểu:

\( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)

Chia mọi thành viên cho 3:

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( (x-1)(x-3) = 0 \)

Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \).

3. Để xác định giá trị của \( m \), ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu và điểm đầu mút của đoạn [0, 2]:

- \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + m = m \)
- \( x = 1 \): \( y = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + m = 1 - 6 + 9 + m = 4 + m \)
- \( x = 2 \): \( y = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 + m = 8 - 24 + 18 + m = 2 + m \)

4. Yêu cầu giá trị nhỏ nhất là -4, ta có:

\( 4 + m = -4 \)

\( m = -4 - 4 \)

\( m = -8 \)

Vậy, giá trị của \( m \) là \( \boxed{-8} \) khiến cho hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + m \) đạt giá trị nhỏ nhất là -4 trên đoạn [0, 2].