Để chứng minh rằng biểu thức \( 2x^2 + (x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2 \) có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương, ta sẽ mở rộng và rút gọn nó.

Bước 1: Mở rộng từng thành phần của biểu thức:
\[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
\[ 3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3 \]
\[ 4(x+2)^2 = 4(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16 \]

Bước 2: Tổng hợp lại các thành phần:
\[ 2x^2 + (x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2 \]
\[ = 2x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (3x^2 + 6x + 3) + (4x^2 + 16x + 16) \]
\[ = (2x^2 + x^2 + 3x^2 + 4x^2) + (2x + 6x + 16x) + (1 + 3 + 16) \]
\[ = 10x^2 + 24x + 20 \]

Bước 3: Biểu thức \( 10x^2 + 24x + 20 \) có thể viết dưới dạng tổng các bình phương như sau:
\[ 10x^2 + 24x + 20 = (3x + 2)^2 + (2x + 4)^2 \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( 2x^2 + (x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2 \) có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức là \( (3x+2)^2 \) và \( (2x+4)^2 \).

Để chứng minh rằng biểu thức 2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2 có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương, ta sẽ mở rộng và rút gọn nó.

Bước 1: Mở rộng từng thành phần của biểu thức:
(x+1)2=x2+2x+1(?+1)2=?2+2?+1
3(x+1)2=3(x2+2x+1)=3x2+6x+33(?+1)2=3(?2+2?+1)=3?2+6?+3
4(x+2)2=4(x2+4x+4)=4x2+16x+164(?+2)2=4(?2+4?+4)=4?2+16?+16

Bước 2: Tổng hợp lại các thành phần:
2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2
=2x2+(x2+2x+1)+(3x2+6x+3)+(4x2+16x+16)=2?2+(?2+2?+1)+(3?2+6?+3)+(4?2+16?+16)
=(2x2+x2+3x2+4x2)+(2x+6x+16x)+(1+3+16)=(2?2+?2+3?2+4?2)+(2?+6?+16?)+(1+3+16)
=10x2+24x+20=10?2+24?+20

Bước 3: Biểu thức 10x2+24x+2010?2+24?+20 có thể viết dưới dạng tổng các bình phương như sau:
10x2+24x+20=(3x+2)2+(2x+4)210?2+24?+20=(3?+2)2+(2?+4)2

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2 có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức là (3x+2)2(3?+2)2 và (2x+4)2(2?+4)2.

Để chứng minh rằng biểu thức 2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2 có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương, ta sẽ mở rộng và rút gọn nó.

Bước 1: Mở rộng từng thành phần của biểu thức:
(x+1)2=x2+2x+1(?+1)2=?2+2?+1
3(x+1)2=3(x2+2x+1)=3x2+6x+33(?+1)2=3(?2+2?+1)=3?2+6?+3
4(x+2)2=4(x2+4x+4)=4x2+16x+164(?+2)2=4(?2+4?+4)=4?2+16?+16

Bước 2: Tổng hợp lại các thành phần:
2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2
=2x2+(x2+2x+1)+(3x2+6x+3)+(4x2+16x+16)=2?2+(?2+2?+1)+(3?2+6?+3)+(4?2+16?+16)
=(2x2+x2+3x2+4x2)+(2x+6x+16x)+(1+3+16)=(2?2+?2+3?2+4?2)+(2?+6?+16?)+(1+3+16)
=10x2+24x+20=10?2+24?+20

Bước 3: Biểu thức 10x2+24x+2010?2+24?+20 có thể viết dưới dạng tổng các bình phương như sau:
10x2+24x+20=(3x+2)2+(2x+4)210?2+24?+20=(3?+2)2+(2?+4)2

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 2x2+(x+1)2+3(x+1)2+4(x+2)22?2+(?+1)2+3(?+1)2+4(?+2)2 có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức là (3x+2)2(3?+2)2 và (2x+4)2(2?+4)2.