Để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) = x + \frac{1}{x} \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số:
Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là:
\[ y' = f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \]

 2. Xác định dấu của đạo hàm:
Ta cần giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn:
\[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \]
\[ \frac{1}{x^2} = 1 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

Bây giờ, xét dấu của \( y' \) trên các khoảng xác định:
- Khi \( x > 1 \): \( y' = 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \) (vì \( \frac{1}{x^2} < 1 \))
- Khi \( 0 < x < 1 \): \( y' = 1 - \frac{1}{x^2} < 0 \) (vì \( \frac{1}{x^2} > 1 \))
- Khi \( x < -1 \): \( y' = 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \) (vì \( \frac{1}{x^2} < 1 \))
- Khi \( -1 < x < 0 \): \( y' = 1 - \frac{1}{x^2} < 0 \) (vì \( \frac{1}{x^2} > 1 \))

3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, \infty) \)
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-1, 0) \) và \( (0, 1) \)

4. Lập bảng biến thiên:

5. Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( y(-1) = -1 - 1 = -2 \)
- Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( y(1) = 1 + 1 = 2 \)

Bảng biến thiên của hàm số \( y = x + \frac{1}{x} \):

Như vậy, hàm số \( y = x + \frac{1}{x} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, \infty) \), và nghịch biến trên các khoảng \( (-1, 0) \) và \( (0, 1) \).