Để chứng minh rằng \( 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ}) \), ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm trong hình học không gian.

Gọi \( S \) là điểm đỉnh của hình chóp \( S.ABCD \), \( I \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), và \( J \) là trọng tâm của tam giác \( ADC \).

Theo định nghĩa, trọng tâm của một tam giác là điểm giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác, mỗi đường trung tuyến chia đôi đoạn nối trung điểm hai đỉnh của tam giác đó.

Với điều kiện này, ta có các công thức sau đây:

- \( \overrightarrow{SI} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}) \)
- \( \overrightarrow{SJ} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC}) \)

Giờ ta sẽ tính tổng \( 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} \):

\[ 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} \]

Nhóm lại các vectơ theo điểm chóp \( S \):

\[ (2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}) = 2(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}) + (\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}) \]

Bây giờ, ta nhận thấy rằng \( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SI} \) và \( \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SJ} \).

Do đó:

\[ 2(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}) + (\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}) = 2\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ} \]

Và vì \( \overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}) \), ta có:

\[ 2\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ} = 3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ}) \]

Vậy nên, \( 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ}) \), điều phải chứng minh đã được đưa ra.