Để chứng minh phương trình

\[
\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x} - \cos x,
\]

chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách viết lại hai bên của phương trình theo sine và cosine.

### Bước 1: Viết lại bên trái

Chúng ta biết rằng

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{và} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.
\]

Do đó, bên trái trở thành:

\[
\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}.
\]

Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có:

\[
\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}.
\]

### Bước 2: Viết lại bên phải

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại bên phải:

\[
\frac{1}{\sin x} - \cos x = \frac{1 - \sin x \cos x}{\sin x}.
\]

### Bước 3: Đặt hai bên bằng nhau

Bây giờ, chúng ta có thể đặt bên trái bằng bên phải:

\[
\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1 - \sin x \cos x}{\sin x}.
\]

### Bước 4: Nhân chéo

Nhân chéo cho chúng ta:

\[
1 \cdot \sin x = (1 - \sin x \cos x) \cos x.
\]

Mở rộng bên phải:

\[
\sin x = \cos x - \sin x \cos^2 x.
\]

### Bước 5: Sắp xếp lại phương trình

Sắp xếp lại ta có:

\[
\sin x + \sin x \cos^2 x = \cos x.
\]

Thao tác rút gọn ra \(\sin x\):

\[
\sin x (1 + \cos^2 x) = \cos x.
\]

### Bước 6: Chia cho \(\cos x\) (nếu \(\cos x \neq 0\))

Nếu chia cả hai bên cho \(\cos x\) (giả sử \(\cos x \neq 0\)), ta sẽ có:

\[
\tan x (1 + \cos^2 x) = 1.
\]

### Kết luận

Điều này cho thấy phương trình ban đầu đúng trong điều kiện \(\cos x \neq 0\).

Vì vậy, phương trình

\[
\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x} - \cos x
\]