Đề bài yêu cầu chứng minh rằng đa thức \( f(x) = x^2 + ax + b + 1 \) nhận -2 và 0 làm nghiệm.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho:

1. Đa thức nhận -2 làm nghiệm: \( f(-2) = 0 \)
2. Đa thức nhận 0 làm nghiệm: \( f(0) = 0 \)

**Bước 1: Tính \( f(-2) \)**

Đa thức \( f(x) \) được cho là:
\[ f(x) = x^2 + ax + b + 1 \]

Thay \( x = -2 \) vào đa thức:
\[ f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + b + 1 \]
\[ f(-2) = 4 - 2a + b + 1 \]
\[ f(-2) = 5 - 2a + b \]

Vì \( f(-2) = 0 \) (do -2 là nghiệm của đa thức), ta có phương trình:
\[ 5 - 2a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a - b = 5 \tag{1} \]

**Bước 2: Tính \( f(0) \)**

Thay \( x = 0 \) vào đa thức:
\[ f(0) = 0^2 + a \cdot 0 + b + 1 \]
\[ f(0) = b + 1 \]

Vì \( f(0) = 0 \) (do 0 là nghiệm của đa thức), ta có phương trình:
\[ b + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \tag{2} \]

**Bước 3: Giải hệ phương trình**

Dùng phương trình (2) để thay vào phương trình (1):
\[ 2a - (-1) = 5 \]
\[ 2a + 1 = 5 \]
\[ 2a = 4 \]
\[ a = 2 \]

**Kết luận:**

Sau khi đã tính toán và giải hệ phương trình, ta có \( a = 2 \) và \( b = -1 \). Vậy đa thức \( f(x) = x^2 + 2x - 1 + 1 \) là:
\[ f(x) = x^2 + 2x \]

Đa thức này nhận -2 và 0 làm nghiệm, như yêu cầu trong đề bài. Vậy ta đã chứng minh được rằng đa thức \( f(x) = x^2 + ax + b + 1 \) nhận -2 và 0 làm nghiệm.

Đề bài yêu cầu chứng minh rằng đa thức f(x)=x2+ax+b+1𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏+1 nhận -2 và 0 làm nghiệm.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho:

1. Đa thức nhận -2 làm nghiệm: f(−2)=0𝑓(−2)=0
2. Đa thức nhận 0 làm nghiệm: f(0)=0𝑓(0)=0

**Bước 1: Tính f(−2)𝑓(−2)**

Đa thức f(x)𝑓(𝑥) được cho là:
f(x)=x2+ax+b+1𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏+1

Thay x=−2𝑥=−2 vào đa thức:
f(−2)=(−2)2+a(−2)+b+1𝑓(−2)=(−2)2+𝑎(−2)+𝑏+1
f(−2)=4−2a+b+1𝑓(−2)=4−2𝑎+𝑏+1
f(−2)=5−2a+b𝑓(−2)=5−2𝑎+𝑏

Vì f(−2)=0𝑓(−2)=0 (do -2 là nghiệm của đa thức), ta có phương trình:
5−2a+b=0⇒2a−b=5(1)(1)5−2𝑎+𝑏=0⇒2𝑎−𝑏=5

**Bước 2: Tính f(0)𝑓(0)**

Thay x=0𝑥=0 vào đa thức:
f(0)=02+a⋅0+b+1𝑓(0)=02+𝑎⋅0+𝑏+1
f(0)=b+1𝑓(0)=𝑏+1

Vì f(0)=0𝑓(0)=0 (do 0 là nghiệm của đa thức), ta có phương trình:
b+1=0⇒b=−1(2)(2)𝑏+1=0⇒𝑏=−1

**Bước 3: Giải hệ phương trình**

Dùng phương trình (2) để thay vào phương trình (1):
2a−(−1)=52𝑎−(−1)=5
2a+1=52𝑎+1=5
2a=42𝑎=4
a=2𝑎=2

**Kết luận:**

Sau khi đã tính toán và giải hệ phương trình, ta có a=2𝑎=2 và b=−1𝑏=−1. Vậy đa thức f(x)=x2+2x−1+1𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−1+1 là:
f(x)=x2+2x𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥

Đa thức này nhận -2 và 0 làm nghiệm, như yêu cầu trong đề bài. Vậy ta đã chứng minh được rằng đa thức f(x)=x2+ax+b+1𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏+1 nhận -2 và 0 làm nghiệm.