Để chứng minh tam giác ABC cân, ta xuất phát từ điều kiện \(a \sin B = c \sin A\).

Ta sử dụng định lý sin trong tam giác:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ đó, ta có thể viết lại \(a\) và \(c\) theo bán kính \(R\):
\[
a = 2R \sin A \quad \text{và} \quad c = 2R \sin C
\]

Thay vào phương trình \(a \sin B = c \sin A\), ta được:
\[
(2R \sin A) \sin B = (2R \sin C) \sin A
\]

Giản lược \(2R \sin A\) (vì \(\sin A \neq 0\)), ta có:
\[
\sin B = \sin C
\]

Điều này có nghĩa là góc \(B\) và \(C\) bằng nhau hoặc bù nhau. Tuy nhiên, vì \(B\) và \(C\) là góc trong tam giác, chúng không thể bù nhau (do tổng của chúng phải nhỏ hơn \(180^\circ\)). Do đó, ta có:
\[
B = C
\]

Khi hai góc trong tam giác bằng nhau, các cạnh đối diện với các góc đó cũng bằng nhau. Vì thế, ta có:
\[
b = c
\]

Tóm lại, tam giác ABC cân tại đỉnh A vì \(B = C\) và \(b = c\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC là tam giác cân.