Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm là \( f'(x) = (x+1)^2 (x+2)^3 (2x-3) \), ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \).

### Bước 1: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \)

Phương trình:
\[
(x+1)^2 (x+2)^3 (2x-3) = 0
\]

### Bước 2: Tìm nghiệm

1. **Nghiệm từ \( (x+1)^2 = 0 \)**:
- \( x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = -1\) (nhiệm bậc 2)

2. **Nghiệm từ \( (x+2)^3 = 0 \)**:
- \( x + 2 = 0 \) \(\Rightarrow x = -2\) (nhiệm bậc 3)

3. **Nghiệm từ \( (2x-3) = 0 \)**:
- \( 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (nhiệm bậc 1)

### Bước 3: Tổng hợp các nghiệm

- \( x = -1 \) (nhiệm bậc 2)
- \( x = -2 \) (nhiệm bậc 3)
- \( x = \frac{3}{2} \) (nhiệm bậc 1)

### Bước 4: Xác định điểm cực trị

- Tại \( x = -1 \), vì bậc của nghiệm là 2 (chẵn), không có cực trị.
- Tại \( x = -2 \), vì bậc của nghiệm là 3 (lẻ), có 1 cực trị.
- Tại \( x = \frac{3}{2} \), vì bậc của nghiệm là 1 (lẻ), có 1 cực trị.

### Kết luận

Số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) là:
\[
\text{Tổng cộng có 2 điểm cực trị.}
\]