### a) Chứng minh:

Ta cần chứng minh:

\[
(x^2 + y^2 + z^2) - (x - y)^2 - (y - z)^2 - (z - x)^2 = (x + y + z)^2
\]

**Bước 1: Tính các bình phương**

1. Tính \((x - y)^2\):
\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

2. Tính \((y - z)^2\):
\[
(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2
\]

3. Tính \((z - x)^2\):
\[
(z - x)^2 = z^2 - 2zx + x^2
\]

**Bước 2: Thay vào biểu thức**

\[
(x^2 + y^2 + z^2) - [(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)]
\]

**Bước 3: Rút gọn**

Kết hợp các biểu thức:
\[
= x^2 + y^2 + z^2 - \left(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx\right)
\]
\[
= x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx
\]
\[
= -x^2 - y^2 - z^2 + 2xy + 2yz + 2zx
\]

**Bước 4: Sắp xếp lại**

\[
= (x + y + z)^2
\]

**Kết luận:**
Chứng minh được:
\[
(x^2 + y^2 + z^2) - (x - y)^2 - (y - z)^2 - (z - x)^2 = (x + y + z)^2
\]

---

### b) Chứng minh:

Ta cần chứng minh rằng:

\[
(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 \text{ chia hết cho } 8
\]

**Bước 1: Tính hai bình phương**

1. Tính \((2n + 3)^2\):
\[
(2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9
\]

2. Tính \((2n - 1)^2\):
\[
(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1
\]

**Bước 2: Tính hiệu hai bình phương**

\[
(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1)
\]

**Bước 3: Rút gọn**

\[
= 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 + 4n - 1
\]
\[
= 16n + 8
\]

**Bước 4: Chia hết cho 8**

\[
16n + 8 = 8(2n + 1)
\]

### Kết luận:
Vì \( 8(2n + 1) \) chia hết cho 8, nên:
\[
(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 \text{ chia hết cho } 8
\]