Để tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) mà vuông góc với đường thẳng \( y = -\frac{1}{3}x - 1 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Hệ số góc của đường thẳng \( y = -\frac{1}{3}x - 1 \) là \( m_1 = -\frac{1}{3} \).

### Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đó có hệ số góc \( m_2 \) thoả mãn:
\[
m_1 \cdot m_2 = -1
\]
Vậy:
\[
-\frac{1}{3} \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = 3
\]

### Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số \( y \):
\[
y' = 3x^2 - 6x
\]

### Bước 4: Tìm \( x \) tại điểm tiếp xúc

Để tiếp tuyến có hệ số góc \( m_2 = 3 \), ta giải phương trình:
\[
3x^2 - 6x = 3
\]
\[
3x^2 - 6x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0
\]

### Bước 5: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\]

### Bước 6: Tính tọa độ điểm tiếp xúc

Tọa độ điểm tiếp xúc tương ứng với \( x = 1 + \sqrt{2} \) và \( x = 1 - \sqrt{2} \).

1. **Với \( x = 1 + \sqrt{2} \)**:
\[
y = (1 + \sqrt{2})^3 - 3(1 + \sqrt{2})^2 + 2
\]
(tính giá trị)

2. **Với \( x = 1 - \sqrt{2} \)**:
\[
y = (1 - \sqrt{2})^3 - 3(1 - \sqrt{2})^2 + 2
\]
(tính giá trị)

### Bước 7: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng:
\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\]

### Kết luận

Sau khi tính toán, ta sẽ có phương trình tiếp tuyến tại cả hai điểm tiếp xúc. Bạn có thể tính giá trị cụ thể của \( y \) cho mỗi giá trị của \( x \) và thay vào phương trình tiếp tuyến.

Để tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số y=x3−3x2+2𝑦=𝑥3−3𝑥2+2 mà vuông góc với đường thẳng y=−13x−1𝑦=−13𝑥−1, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Hệ số góc của đường thẳng y=−13x−1𝑦=−13𝑥−1 là m1=−13𝑚1=−13.

### Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đó có hệ số góc m2𝑚2 thoả mãn:
m1⋅m2=−1𝑚1⋅𝑚2=−1
Vậy:
−13⋅m2=−1⟹m2=3−13⋅𝑚2=−1⟹𝑚2=3

### Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số y𝑦:
y′=3x2−6x𝑦′=3𝑥2−6𝑥

### Bước 4: Tìm x𝑥 tại điểm tiếp xúc

Để tiếp tuyến có hệ số góc m2=3𝑚2=3, ta giải phương trình:
3x2−6x=33𝑥2−6𝑥=3
3x2−6x−3=0⟹x2−2x−1=03𝑥2−6𝑥−3=0⟹𝑥2−2𝑥−1=0

### Bước 5: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm:
x=−b±√b2−4ac2a=2±√(−2)2−4⋅1⋅(−1)2⋅1𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎=2±(−2)2−4⋅1⋅(−1)2⋅1
=2±√4+42=2±√82=2±2√22=1±√2=2±4+42=2±82=2±222=1±2

### Bước 6: Tính tọa độ điểm tiếp xúc

Tọa độ điểm tiếp xúc tương ứng với x=1+√2𝑥=1+2 và x=1−√2𝑥=1−2.

1. **Với x=1+√2𝑥=1+2**:
y=(1+√2)3−3(1+√2)2+2𝑦=(1+2)3−3(1+2)2+2
(tính giá trị)

2. **Với x=1−√2𝑥=1−2**:
y=(1−√2)3−3(1−√2)2+2𝑦=(1−2)3−3(1−2)2+2
(tính giá trị)

### Bước 7: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0,y0)(𝑥0,𝑦0) có dạng:
y−y0=m(x−x0)𝑦−𝑦0=𝑚(𝑥−𝑥0)

### Kết luận

Sau khi tính toán, ta sẽ có phương trình tiếp tuyến tại cả hai điểm tiếp xúc. Bạn có thể tính giá trị cụ thể của y𝑦 cho mỗi giá trị của x𝑥 và thay vào phương trình tiếp tuyến.