Để hàm số \( y = \frac{1 - 2 \sin x}{2 \sin x + m} \) đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)\), ta cần tìm giá trị \(m\) để đạo hàm của hàm số này luôn không âm trên khoảng đó.

Đầu tiên, đặt \( u = 1 - 2 \sin x \) và \( v = 2 \sin x + m \). Khi đó hàm số có dạng:
\[ y = \frac{u}{v} \]

Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Ta tính \( u' \) và \( v' \):
\[ u = 1 - 2 \sin x \]
\[ u' = -2 \cos x \]

\[ v = 2 \sin x + m \]
\[ v' = 2 \cos x \]

Thay \( u' \) và \( v' \) vào công thức của \( y' \):
\[ y' = \frac{(-2 \cos x)(2 \sin x + m) - (1 - 2 \sin x)(2 \cos x)}{(2 \sin x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{-4 \cos x \sin x - 2m \cos x - 2 \cos x + 4 \sin x \cos x}{(2 \sin x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{-2m \cos x - 2 \cos x}{(2 \sin x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{-2 \cos x (m + 1)}{(2 \sin x + m)^2} \]

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)\), ta cần \( y' \geq 0 \) trên khoảng này.

Trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)\), \(\cos x \leq 0\). Do đó, để \( y' \geq 0 \), ta cần:
\[ -2 \cos x (m + 1) \geq 0 \]

Bởi vì \(\cos x \leq 0\) trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)\), điều kiện để biểu thức này không âm là:
\[ m + 1 \leq 0 \]
\[ m \leq -1 \]

Vì \( m \in (-10, 10) \), các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện này là:
\[ -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 \]

Có 10 giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy số giá trị nguyên \( m \in (-10, 10) \) để hàm số \( y \) đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)\) là 10.