.

### Bước 1: Đặt biến và điều kiện bài toán

Cho bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài là gấp đôi chiều rộng. Đặt chiều rộng của bể cá là \( x \) mét, do đó chiều dài sẽ là \( 2x \) mét. Diện tích đáy của bể cá là 5m², vì vậy ta có:

\[ x \cdot 2x = 5 \]

### Bước 2: Giải phương trình để tìm \( x \)

\[ 2x^2 = 5 \]

\[ x^2 = \frac{5}{2} \]

\[ x = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]

### Bước 3: Tính diện tích bề mặt của bể cá

Diện tích bề mặt của bể cá bao gồm 2 mặt bên, 1 mặt đáy và 1 mặt trên:
\[ \text{Diện tích bề mặt} = 2(x \cdot 2x) + 2(x \cdot 2) + 2(2x \cdot 2) \]
\[ = 4x^2 + 4x \]

Thay \( x = \frac{\sqrt{10}}{2} \) vào công thức trên:

\[ x^2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

\[ 4x^2 = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10 \]

\[ 4x = 4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10} \]

Vậy, diện tích bề mặt của bể cá là:
\[ \text{Diện tích bề mặt} = 10 + 2\sqrt{10} \]

### Bước 4: Tính dung tích của bể cá

Dung tích của bể cá là tích của diện tích đáy và chiều cao:
\[ \text{Dung tích} = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \]

Với \( \text{Diện tích đáy} = 5 \) (m²) và chiều cao \( = x = \frac{\sqrt{10}}{2} \) mét:

\[ \text{Dung tích} = 5 \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} \]

\[ \text{Dung tích} = \frac{5\sqrt{10}}{2} \]

Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá mà ông An có thể làm là \( \frac{5\sqrt{10}}{2} \) mét khối.

Để tìm dung tích lớn nhất của bể cá, ta cần tìm kích thước của bể cá sao cho diện tích bề mặt của bể cá là lớn nhất.
 
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là L, chiều rộng là W. Theo đề bài, ta có:
L = 2W (chiều dài gấp 2 lần chiều rộng)
 
Diện tích bề mặt của bể cá được tính bằng tổng diện tích của các bề mặt:
S = 2(LW + LH + WH) (2 mặt đáy và 3 mặt bên)
 
Thay L = 2W vào công thức trên ta được:
S = 2(2W * W + 2W * H + WH)
S = 2(2W^2 + 2WH + WH)
S = 4W^2 + 4WH + 2WH
S = 4W^2 + 6WH
 
Đề bài cho biết diện tích kính là 5m2, ta có:
S = 5
4W^2 + 6WH = 5
W^2 + 1.5WH = 1.25
 
Để tìm dung tích lớn nhất của bể cá, ta cần tìm giá trị lớn nhất của WH. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
W^2 + 1.5WH ≥ 2 √(W^2 * 1.5WH)
1.25 ≥ 2 √(1.5W^3 H)
0.625 ≥ √(W^3 H)
0.625^2 ≥ W^3 H
0.39 ≥ WH
 
Do đó, dung tích lớn nhất của bể cá là khi WH = 0.39. Đặt W = 2, ta có:
0.39 = 2H
H = 0.195
 
Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là khi chiều dài là 0.39m, chiều rộng là 0.195m và chiều cao là 0.195m, tức là khoảng 0.015 m3.