Để hàm số \( f(x) = \frac{mx + 16}{x + m} \) nghịch biến trên khoảng \( (1, 8) \), ta cần xét điều kiện để \( f(x) \) không đổi dấu trên khoảng này. Điều này xảy ra khi \( f(x) \) đồng dấu với đạo hàm của nó trên khoảng này.

Đạo hàm của \( f(x) \) là:
\[ f'(x) = \frac{(m \cdot (x + m) - (mx + 16)) \cdot (x + m)'}{(x + m)^2} = \frac{m^2 - 16}{(x + m)^2} \]

Để hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1, 8) \), đạo hàm \( f'(x) \) phải luôn âm trên khoảng đó.

\[ f'(x) = \frac{m^2 - 16}{(x + m)^2} < 0 \]

Với \( (x + m)^2 > 0 \) vì \( x \in (1, 8) \) và \( m \) là một số nguyên.

Điều kiện \( m^2 - 16 < 0 \) cho ta:
\[ m^2 < 16 \]
\[ -4 < m < 4 \]

Vì \( m \) là số nguyên, nên \( m \) có thể là -3, -2, -1, 0, 1, 2, hoặc 3.

Vậy, có \( \boxed{7} \) giá trị nguyên \( m \) để hàm số \( f(x) = \frac{mx + 16}{x + m} \) nghịch biến trên khoảng \( (1, 8) \).

Để hàm số \(f(x) = \frac{mx + 16}{x + m}\) nghịch biến trên khoảng (1; 8), ta cần xác định điều kiện để đạo hàm của hàm số này luôn đồng dấu trên khoảng (1; 8).

Đạo hàm của hàm số f(x) theo x:
f'(x) = \(\frac{m(x + m) - (mx + 16)}{(x + m)^2}\)
f'(x) = \(\frac{mx + m^2 - mx - 16}{(x + m)^2}\)
f'(x) = \(\frac{m^2 - 16}{(x + m)^2}\)

Để hàm số nghịch biến, ta cần f'(x) < 0 trên khoảng (1; 8). Vì vậy, ta cần xác định điều kiện để m^2 - 16 < 0.

m^2 - 16 < 0
(m - 4)(m + 4) < 0

Ta có 2 nghiệm của phương trình m^2 - 16 = 0 là m = -4 và m = 4. Vì vậy, ta cần xác định m thuộc khoảng (-4; 4) để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 8).

Vậy có vô số giá trị nguyên m thỏa điều kiện để hàm số mx + 16/x + m nghịch biến trên khoảng (1; 8).