Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng \(\angle D = 2 \angle C\). Chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

1. Vẽ tứ giác \(ABCD\) sao cho \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
2. Vẽ các tia phân giác của \(\angle C\) và \(\angle D\) cắt nhau tại \(O\) sao cho \(CD = 2OD\).

### Chứng minh
#### Bước 1: Sử dụng tính chất của tứ giác \(ABCD\)
Ta có \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Theo tính chất tổng các góc trong tứ giác, ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]
Do đó:
\[
180^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ \implies \angle C + \angle D = 180^\circ
\]

#### Bước 2: Sử dụng tính chất của phân giác
Gọi \(\angle C = x\), \(\angle D = y\), ta có \(\frac{\angle C}{2} = \frac{x}{2}\) và \(\frac{\angle D}{2} = \frac{y}{2}\).

Vì \(O\) là giao điểm của các tia phân giác, ta có:
\[
\angle COA = \frac{x}{2} \quad \text{và} \quad \angle DOB = \frac{y}{2}
\]

#### Bước 3: Sử dụng điều kiện \(CD = 2OD\)
Do \(O\) nằm trên tia phân giác của \(\angle D\) và \(OD\) là đoạn thẳng phân giác của góc \(D\), ta có:
\[
CD = 2OD
\]

#### Bước 4: Chứng minh \(\angle D = 2 \angle C\)
Do \(O\) là giao điểm của các phân giác của \(\angle C\) và \(\angle D\), và \(CD = 2OD\), nên tam giác \(COD\) là tam giác cân tại \(O\) với \(CO = DO\).

Vì tam giác \(COD\) cân tại \(O\) và \(\angle COD\) là góc giữa hai phân giác, nên:
\[
\angle COD = 180^\circ - (\frac{x}{2} + \frac{y}{2})
\]

Suy ra:
\[
180^\circ - (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 90^\circ \implies \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 90^\circ \implies x + y = 180^\circ
\]

Từ \(\angle C + \angle D = 180^\circ\), suy ra:
\[
x + y = 180^\circ
\]

Vì \(CD = 2OD\), tam giác \(COD\) là tam giác cân, nên \(\angle C = \angle D\). Từ đó suy ra:
\[
y = 2x
\]

Vậy:
\[
\angle D = 2 \angle C
\]

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh rằng \(\angle D = 2 \angle C\).