Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình theo yêu cầu và sau đó chứng minh từng phần của bài toán.
a. Chứng minh tam giác AOI = tam giác BOI:

Vì OA = OB nên ta có góc OAI = góc OBI (do cạnh và góc đối của hai tam giác bằng nhau).
Ta cũng có góc OIA = góc OIB (do I nằm trên tia phân giác Oz).
Do đó, theo góc - cạnh - góc, ta có tam giác AOI = tam giác BOI.

b. Chứng minh tam giác AIH = tam giác BIH:

Ta có AB // IH (do AB cắt Oz tại H).
Vì OA = OB nên ta có góc OAI = góc OBI.
Từ đó, ta cũng có góc AIO = góc BIO.
Kết hợp với AB // IH, ta có tam giác AIH = tam giác BIH (do có 2 góc bằng nhau và 1 cặp cạnh song song).

c. Chứng minh tam giác AIH và BIH đều là tam giác vuông:

Ta có tam giác AOI = tam giác BOI (đã chứng minh ở câu a).
Khi đó, góc OAI = góc OBI = 90 độ (do tam giác AOI và BOI là tam giác cân).
Vậy ta có tam giác AIH và BIH đều là tam giác vuông.

Hy vọng phần giải đáp trên sẽ giúp bạn hiểu rõ vấn đề. Nếu cần thêm giải thích hoặc có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại để lại cho mình biết nhé!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành các bước chứng minh như sau:

### Vẽ hình
1. Vẽ góc xOy với tia phân giác Oz.
2. Lấy điểm I trên tia Oz.
3. Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho OA = OB.
4. Nối các điểm A, B, I để tạo thành các tam giác AOI và BOI.

### Chứng minh
#### a. Chứng minh tam giác AOI = tam giác BOI.
- Do I nằm trên tia phân giác của góc xOy nên \( \angle AOI = \angle BOI \).
- \( OA = OB \) (theo giả thiết).
- \( OI \) là cạnh chung của hai tam giác AOI và BOI.

Do đó, \( \triangle AOI = \triangle BOI \) theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

#### b. Đoạn thẳng AB cắt Oz tại H, chứng minh rằng tam giác AIH = tam giác BIH.
- Do \( \triangle AOI = \triangle BOI \), suy ra \( AI = BI \) và \( \angle AIO = \angle BIO \).
- Do AB cắt Oz tại H, H nằm trên Oz, nên \( AH \) và \( BH \) là hai đoạn thẳng đối xứng nhau qua Oz.
- Vì \( AI = BI \) và \( \angle AIO = \angle BIO \), suy ra \( \angle AIH = \angle BIH \).
- Do đó, tam giác \( AIH = BIH \) theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

#### c. Chứng minh rằng tam giác AIH và BIH đều là tam giác vuông.
- Do \( AIH \) và \( BIH \) là hai tam giác bằng nhau và \( H \) nằm trên tia phân giác Oz của góc xOy.
- Góc \( \angle AIO \) và \( \angle BIO \) là hai góc phụ nhau vì \( \angle xOy \) bị chia đôi bởi tia phân giác Oz.
- Do đó, \( \angle AIH \) và \( \angle BIH \) đều bằng 90 độ vì chúng là góc ngoài của tam giác \( \triangle AIO \) và \( \triangle BIO \).

Tóm lại, tam giác \( AIH \) và tam giác \( BIH \) đều là tam giác vuông.

Bây giờ chúng ta sẽ vẽ hình minh họa cho bài toán.

Hình minh họa trên thể hiện:

1. Góc \( xOy \) với tia phân giác \( Oz \).
2. Điểm \( I \) nằm trên tia phân giác \( Oz \).
3. Điểm \( A \) trên \( Ox \) và điểm \( B \) trên \( Oy \) sao cho \( OA = OB \).
4. Đoạn thẳng \( AB \) cắt \( Oz \) tại \( H \).

### Tóm tắt chứng minh:
a. Tam giác \( AOI \) và \( BOI \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

b. Tam giác \( AIH \) và \( BIH \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

c. Tam giác \( AIH \) và \( BIH \) đều là tam giác vuông vì \( \angle AIH \) và \( \angle BIH \) đều bằng 90 độ.