Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần một theo yêu cầu.

### a. Chứng minh tam giác \( \triangle AOC = \triangle BOD \)

1. **Điểm đặt**:
- Giả sử \( A \) và \( B \) là hai điểm trên đường thẳng \( AB \) sao cho \( O \) là trung điểm của \( AB \).
- \( C \) nằm trên tia \( Ax \) sao cho \( AC = l \).
- \( D \) nằm trên tia \( By \) sao cho \( BD = l \).

2. **Tọa độ các điểm** (giả sử \( A \) có tọa độ \( (0,0) \) và \( B \) có tọa độ \( (2a,0) \)):
- \( O \) là trung điểm của \( AB \), nên tọa độ của \( O \) là \( (a, 0) \).
- Do \( C \) nằm trên tia \( Ax \) và \( Ax \) vuông góc với \( AB \), nên tọa độ của \( C \) là \( (0, l) \).
- Do \( D \) nằm trên tia \( By \) và \( By \) vuông góc với \( AB \), nên tọa độ của \( D \) là \( (2a, l) \).

3. **Khoảng cách các đoạn thẳng**:
- \( OA = OB = a \).
- \( AC = BD = l \).

4. **Chứng minh các tam giác bằng nhau**:
- Xét tam giác \( \triangle AOC \):
- \( OA = a \).
- \( OC = \sqrt{a^2 + l^2} \).
- \( \angle AOC = 90^\circ \).

- Xét tam giác \( \triangle BOD \):
- \( OB = a \).
- \( OD = \sqrt{a^2 + l^2} \).
- \( \angle BOD = 90^\circ \).

Như vậy, các yếu tố tương ứng của hai tam giác \( \triangle AOC \) và \( \triangle BOD \) bằng nhau:
- \( OA = OB \).
- \( OC = OD \).
- \( \angle AOC = \angle BOD = 90^\circ \).

Do đó, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (SAS), ta có \( \triangle AOC = \triangle BOD \).

### b. Chứng minh \( O \) là trung điểm của \( CD \)

1. **Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( CD \)**:
- Tọa độ của \( C \) là \( (0, l) \).
- Tọa độ của \( D \) là \( (2a, l) \).

Trung điểm \( O' \) của đoạn thẳng \( CD \) có tọa độ:
\[
O' \left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{l + l}{2} \right) = \left( a, l \right)
\]

2. **Tọa độ của điểm \( O \)**:
- Tọa độ của \( O \) là \( (a, 0) \).

3. **So sánh tọa độ của \( O \) và trung điểm \( O' \)**:
- Trung điểm của \( CD \) có tọa độ \( (a, l) \).
- Điểm \( O \) có tọa độ \( (a, 0) \).

4. **Kiểm tra lại tọa độ của điểm \( O \) và tọa độ trung điểm**:
- Xét lại tọa độ của \( O \):
- Nếu \( O \) là trung điểm của \( CD \) thì toạ độ của \( O \) phải thoả mãn trung điểm của đoạn \( CD \). Tuy nhiên \( O \) ở toạ độ \( (a,0) \) mà trung điểm của đoạn thẳng phải là \( (a,l) \) nên không thoả mãn.

Như vậy có lỗi trong chứng minh, nên để cho \( O \) là trung điểm của \( CD \) cần kiểm tra lại yêu cầu chứng minh.