Để tính đạo hàm của hàm số \( Y = \log_2(3x) \), ta cần áp dụng quy tắc chuỗi và công thức đạo hàm của hàm logarit.

Bước 1: Sử dụng công thức đổi cơ số logarit
Đầu tiên, ta có thể đổi cơ số logarit để đơn giản hóa việc tính toán. Công thức đổi cơ số logarit là:
\[
\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}
\]
Áp dụng vào hàm số \( Y = \log_2(3x) \):
\[
Y = \log_2(3x) = \frac{\ln(3x)}{\ln(2)}
\]

Bước 2: Tính đạo hàm của \( Y \)
Để tính đạo hàm của \( Y \), ta cần tính đạo hàm của \(\frac{\ln(3x)}{\ln(2)}\). Vì \(\ln(2)\) là một hằng số, ta có thể đặt \( \frac{1}{\ln(2)} \) ra ngoài dấu đạo hàm:
\[
\frac{d}{dx} \left( Y \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(3x)}{\ln(2)} \right) = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{d}{dx} \left( \ln(3x) \right)
\]

Bước 3: Tính đạo hàm của \(\ln(3x)\)
Ta sử dụng quy tắc chuỗi để tính đạo hàm của \(\ln(3x)\):
\[
\frac{d}{dx} \left( \ln(3x) \right) = \frac{1}{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}
\]

Bước 4: Ghép lại kết quả
Kết hợp các bước trên, ta có:
\[
\frac{dY}{dx} = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln(2)}
\]

Vậy đạo hàm của hàm số \( Y = \log_2(3x) \) là:
\[
\boxed{\frac{1}{x \ln(2)}}
\]