Để tìm khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \( Y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \), ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính đạo hàm của hàm số
Đạo hàm của hàm số \( Y \) là:

\[ Y' = 3x^2 + 6x + 3 \]

### 2. Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( Y' = 0 \)
Giải phương trình:

\[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \]

Chia cả hai vế cho 3:

\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]

Phương trình này có nghiệm kép:

\[ (x + 1)^2 = 0 \]
\[ x = -1 \]

### 3. Xác định dấu của đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu
Để xác định khoảng đơn điệu, ta xét dấu của \( Y' \) trên các khoảng được chia bởi nghiệm \( x = -1 \).

- Với \( x < -1 \): Chọn điểm thử \( x = -2 \):

\[ Y'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 12 - 12 + 3 = 3 \]
=> \( Y'(-2) > 0 \), do đó \( Y \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \).

- Với \( x > -1 \): Chọn điểm thử \( x = 0 \):

\[ Y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 3 = 3 \]
=> \( Y'(0) > 0 \), do đó \( Y \) đồng biến trên khoảng \( (-1, \infty) \).

### 4. Xác định các điểm cực trị
Vì \( Y'(-1) = 0 \) và \( Y' \) không đổi dấu khi qua \( x = -1 \), nên \( x = -1 \) là một điểm uốn chứ không phải điểm cực trị.

### 5. Kết luận về khoảng đơn điệu và điểm cực trị
- Hàm số \( Y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) đồng biến trên cả hai khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, \infty) \).
- Hàm số không có điểm cực trị.

### Tóm lại:
- **Khoảng đơn điệu**:
- Đồng biến trên \( (-\infty, -1) \)
- Đồng biến trên \( (-1, \infty) \)

- **Điểm cực trị**: Không có.

Để tìm khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \( Y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.
2. Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng tăng và giảm của hàm số.

Bắt đầu với bước 1:

Đạo hàm của \( Y \) theo \( x \) là: \( Y' = 3x^2 + 6x + 3 \).

Giải phương trình \( Y' = 0 \) để tìm điểm cực trị:

\[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \]

\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]

\[ (x + 1)^2 = 0 \]

\[ x = -1 \]

Điểm cực trị của hàm số là \( x = -1 \).

Bước 2:

Để xác định khoảng tăng và giảm, ta cần xem dấu của đạo hàm trong các khoảng.

- Khoảng từ âm vô cùng đến -1: Đạo hàm \( Y' \) âm, nghĩa là hàm số giảm.
- Khoảng từ -1 đến dương vô cùng: Đạo hàm \( Y' \) dương, nghĩa là hàm số tăng.

Vậy, khoảng giảm của hàm số là từ âm vô cùng đến -1 và khoảng tăng là từ -1 đến dương vô cùng. Điểm cực trị là (-1, Y(-1)) = (-1, 1).

Tóm lại, hàm số \( Y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) có một điểm cực trị là (-1, 1) và nó giảm trên khoảng từ âm vô cùng đến -1, tăng trên khoảng từ -1 đến dương vô cùng.