Để tìm \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - 3mx + 4 \) đạt cực trị tại \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1 + x_2 = 15 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**

\[
y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - 3mx + 4 \right)
\]

\[
y' = x^2 - 2mx - 3m
\]

2. **Cực trị của hàm số:**

Hàm số đạt cực trị tại các điểm mà đạo hàm bằng 0, tức là:

\[
y' = x^2 - 2mx - 3m = 0
\]

Đây là phương trình bậc hai, có hai nghiệm là \( x_1 \) và \( x_2 \):

\[
x_1 + x_2 = 2m
\]

\[
x_1 x_2 = -3m
\]

Do \( x_1 + x_2 = 15 \), ta có:

\[
2m = 15 \implies m = \frac{15}{2} = 7.5
\]

3. **Kiểm tra điều kiện:**

Thay \( m = 7.5 \) vào phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 15x - 22.5 = 0
\]

Nghiệm của phương trình bậc hai này sẽ là:

\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22.5)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 90}}{2}
\]

\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{315}}{2}
\]

\[
x = \frac{15 \pm 3\sqrt{35}}{2}
\]

Vì phương trình có nghiệm thực và tổng \( x_1 + x_2 \) đúng bằng 15, ta xác nhận rằng \( m = 7.5 \) thỏa mãn điều kiện.

### Kết luận:

Giá trị của \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - 3mx + 4 \) đạt cực trị tại \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1 + x_2 = 15 \) là \( m = 7.5 \).