Để tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình \(3x^3 + 73xy + 2025 = 3y^3\), chúng ta sẽ tiến hành giải phương trình này qua các bước sau.

Bước 1: Chuyển đổi phương trình để dễ làm việc
Ta có phương trình:
\[ 3x^3 + 73xy + 2025 = 3y^3 \]

Chuyển đổi phương trình:
\[ 3x^3 - 3y^3 + 73xy + 2025 = 0 \]
\[ 3(x^3 - y^3) + 73xy + 2025 = 0 \]

Bước 2: Phân tích biểu thức \(x^3 - y^3\)
Nhớ rằng:
\[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]

Thay vào phương trình:
\[ 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 73xy + 2025 = 0 \]

Bước 3: Thử nghiệm với các giá trị nhỏ của \(x\) và \(y\)

Thử \(x = 0\):
\[ 3(0) + 73(0) + 2025 = 3y^3 \]
\[ 2025 = 3y^3 \]
\[ y^3 = 675 \]
675 không phải là lập phương hoàn hảo của một số nguyên nên không có nghiệm nguyên ở đây.

Thử \(y = 0\):
\[ 3x^3 + 73(0) + 2025 = 0 \]
\[ 3x^3 + 2025 = 0 \]
\[ x^3 = -675 \]
Tương tự, -675 cũng không phải là lập phương hoàn hảo của một số nguyên.

Thử \(x = y\):
\[ 3x^3 - 3x^3 + 73x^2 + 2025 = 0 \]
\[ 73x^2 + 2025 = 0 \]
\[ 73x^2 = -2025 \]
\[ x^2 = -\frac{2025}{73} \]
Điều này không thể có nghiệm nguyên vì không thể có bình phương của một số nguyên bằng một số âm.

Thử một số giá trị \(x\) và \(y\) khác:
Ta thử \(x = 1, -1, 2, -2, 3, -3\) và tương tự cho \(y\).

Thử \(x = 1\):
\[ 3(1)^3 + 73(1)y + 2025 = 3y^3 \]
\[ 3 + 73y + 2025 = 3y^3 \]
\[ 3y^3 - 73y - 2028 = 0 \]

Thử \(y = 1\):
\[ 3(1)^3 + 73(1) + 2025 = 3(1)^3 \]
\[ 3 + 73 + 2025 = 3 \]
\[ 3 + 73 + 2025 = 3 \]

Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác, không thấy có nghiệm nào khả thi. Thử nghiệm xấp xỉ có vẻ không có nghiệm nguyên.

Do đó, sau khi thử các giá trị khả dĩ và không tìm thấy nghiệm nguyên nào, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình \(3x^3 + 73xy + 2025 = 3y^3\) không có nghiệm nguyên.