Để giải các phương trình lượng giác sau, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn mỗi phương trình. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

**Câu 1: \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right) = -1\)**

Phương trình \(\sin A = -1\) có nghiệm \( A = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

Ta có:
\[
\frac{\pi}{6} + 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]

Giải phương trình này:
\[
2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
2x = -\frac{2\pi + \pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
2x = -\frac{3\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

**Câu 2: \(\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}\)**

Phương trình \(\cos A = -\frac{1}{2}\) có nghiệm \( A = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( A = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

Ta có:
\[
\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]
Hoặc
\[
\frac{\pi}{6} - 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

Giải phương trình thứ nhất:
\[
\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
-2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
-2x = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
-2x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
-2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = -\frac{\pi}{4} - k\pi
\]

Giải phương trình thứ hai:
\[
\frac{\pi}{6} - 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
-2x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
-2x = -\frac{4\pi + \pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
-2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{5\pi}{12} - k\pi
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{\pi}{4} - k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
hoặc
\[
x = \frac{5\pi}{12} - k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

**Câu 3: \(\tan(2x - 1) = \sqrt{3}\)**

Phương trình \(\tan A = \sqrt{3}\) có nghiệm \( A = \frac{\pi}{3} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

Ta có:
\[
2x - 1 = \frac{\pi}{3} + k\pi
\]

Giải phương trình:
\[
2x = \frac{\pi}{3} + 1 + k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi + 3 + 3k\pi}{6}
\]
\[
x = \frac{\pi + 3}{6} + \frac{k\pi}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi + 3}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

**Câu 4: \(\cos 3x = \sin 2x\)**

Dùng công thức đổi dạng:
\[
\cos 3x = \sin 2x
\]
\[
\cos 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)
\]

Phương trình \(\cos A = \cos B\) có nghiệm \( A = B + 2k\pi \) hoặc \( A = -B + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

Ta có:
\[
3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2k\pi
\]
hoặc
\[
3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi
\]

Giải phương trình thứ nhất:
\[
3x + 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}
\]

Giải phương trình thứ hai:
\[
3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi
\]
\[
x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
hoặc
\[
x = \frac{2k\pi}{5} - \frac{\pi}{10} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Tóm lại, nghiệm của từng phương trình là:
1. \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
2. \( x = -\frac{\pi}{4} - k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{12} - k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
3. \( x = \frac{\pi + 3}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
4. \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) \) hoặc \( x = \frac{2k\pi}{5} - \frac{\pi}{10} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Để giải các phương trình trong các câu trên, ta sẽ sử dụng các công thức và tính chất của hàm lượng giác. Dưới đây là cách giải từng câu:

1. \( \sin(\frac{\pi}{6} + 2x) = -1 \)
Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức:
\[ \sin(\alpha) = -1 \] khi và chỉ khi \( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
Tương tự, ta có:
\[ \frac{\pi}{6} + 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
\[ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi - \frac{\pi}{6} \]
\[ x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi - \frac{\pi}{3} \]

2. \( \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\frac{1}{2} \)
Sử dụng công thức:
\[ \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} \] khi và chỉ khi \( \alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( \alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
Tương tự, ta có:
\[ \frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] hoặc \( \frac{\pi}{6} - 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \)
Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị của \( x \).

3. \( \tan(2x - 1) = \sqrt{3} \)
Để giải phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm tan:
\[ \tan(\alpha) = \sqrt{3} \] khi và chỉ khi \( \alpha = \frac{\pi}{3} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
Tương tự, ta có:
\[ 2x - 1 = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
Giải phương trình trên để tìm giá trị của \( x \).

4. \( \cos(3x) = \sin(2x) \)
Sử dụng các công thức biến đổi hàm lượng giác, ta có thể chuyển cả hai hàm về dạng cùng một hàm để giải phương trình này. Để giải phương trình này, ta cần sử dụng các công thức biến đổi hàm lượng giác.