Để tìm xác suất lấy ra 4 bút mà có nhiều nhất 1 bút màu đỏ, ta cần tính xác suất của hai trường hợp: không có bút màu đỏ và có đúng 1 bút màu đỏ. Trước tiên, chúng ta cần tính tổng số cách lấy 4 bút từ hộp có tổng cộng 21 bút.

Số cách chọn 4 bút từ 21 bút là:

\[ \binom{21}{4} = \frac{21!}{4!(21-4)!} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Tiếp theo, ta tính số cách để lấy ra 4 bút mà có nhiều nhất 1 bút màu đỏ.

**Trường hợp 1: Không có bút màu đỏ**

- Số bút không đỏ = 7 (đen) + 8 (xanh) = 15

- Số cách chọn 4 bút từ 15 bút không đỏ là:

\[ \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

**Trường hợp 2: Có đúng 1 bút màu đỏ**

- Số cách chọn 1 bút từ 6 bút màu đỏ là:

\[ \binom{6}{1} = 6 \]

- Số bút còn lại để chọn là 3 từ 15 bút không đỏ.

- Số cách chọn 3 bút từ 15 bút không đỏ là:

\[ \binom{15}{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]

Tổng số cách chọn 4 bút mà có nhiều nhất 1 bút màu đỏ là tổng số cách của hai trường hợp trên:

\[ \binom{15}{4} + \left( \binom{6}{1} \times \binom{15}{3} \right) \]

Cuối cùng, xác suất để lấy 4 bút có nhiều nhất 1 bút màu đỏ là:

\[ P = \frac{\binom{15}{4} + \left( \binom{6}{1} \times \binom{15}{3} \right)}{\binom{21}{4}} \]

Ta sẽ tính các giá trị cụ thể:

\[ \binom{21}{4} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5985 \]

\[ \binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \]

\[ \binom{6}{1} = 6 \]

\[ \binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \]

Tổng số cách:

\[ \binom{15}{4} + \left( 6 \times \binom{15}{3} \right) = 1365 + (6 \times 455) = 1365 + 2730 = 4095 \]

Xác suất:

\[ P = \frac{4095}{5985} = \frac{273}{399} \approx 0.684 \]

Vậy xác suất để 4 bút lấy ra có nhiều nhất 1 bút màu đỏ là khoảng 0.684.