Để giải bài toán này, ta sử dụng các kiến thức về hình học không gian và thể tích quả cầu.

Gọi \( R \) là bán kính của quả cầu lớn. Khi hai quả cầu tiếp xúc, đường thẳng nối trung điểm của đường kính của quả cầu nhỏ với trung điểm của đường kính của quả cầu lớn là đoạn vuông góc với mặt bàn và có độ dài bằng tổng của hai bán kính.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

\[
(R - 12)^2 + (R - 12)^2 = (2R)^2
\]

Giải phương trình trên để tìm \( R \):

\[
2(R - 12)^2 = 4R^2
\]

\[
(R - 12)^2 = 2R^2
\]

\[
R^2 - 24R + 144 = 2R^2
\]

\[
-R^2 - 24R + 144 = 0
\]

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta cần phải đảo dấu của tất cả các hạng tử và chia cho hệ số của \( R^2 \):

\[
R^2 + 24R - 144 = 0
\]

Sau đó, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
R = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Ở đây, \( a = 1, b = 24, \) và \( c = -144 \). Thực hiện các phép tính:

\[
R = \frac{{-24 \pm \sqrt{{24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)}}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
R = \frac{{-24 \pm \sqrt{{576 + 576}}}}{{2}}
\]

\[
R = \frac{{-24 \pm \sqrt{{1152}}}}{{2}}
\]

\[
R = \frac{{-24 \pm 24\sqrt{2}}}{{2}}
\]

\[
R = -12 \pm 12\sqrt{2}
\]

Vì \( R \) phải là một giá trị dương, nên ta chọn \( R = -12 + 12\sqrt{2} \) vì nó lớn hơn 0.

Vậy, thể tích của quả cầu lớn gần nhất là:

\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
\]

\[
V = \frac{4}{3} \pi (-12 + 12\sqrt{2})^3
\]

Tính toán giá trị số, ta có:

\[
V \approx 23879.5 \, \text{cm}^3
\]

Vậy thể tích của quả cầu lớn gần nhất là khoảng 23879.5 \( \text{cm}^3 \).

Để giải bài toán này, ta sử dụng các kiến thức về hình học không gian và thể tích quả cầu.

Gọi R𝑅 là bán kính của quả cầu lớn. Khi hai quả cầu tiếp xúc, đường thẳng nối trung điểm của đường kính của quả cầu nhỏ với trung điểm của đường kính của quả cầu lớn là đoạn vuông góc với mặt bàn và có độ dài bằng tổng của hai bán kính.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

(R−12)2+(R−12)2=(2R)2(𝑅−12)2+(𝑅−12)2=(2𝑅)2

Giải phương trình trên để tìm R𝑅:

2(R−12)2=4R22(𝑅−12)2=4𝑅2

(R−12)2=2R2(𝑅−12)2=2𝑅2

R2−24R+144=2R2𝑅2−24𝑅+144=2𝑅2

−R2−24R+144=0−𝑅2−24𝑅+144=0

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta cần phải đảo dấu của tất cả các hạng tử và chia cho hệ số của R2𝑅2:

R2+24R−144=0𝑅2+24𝑅−144=0

Sau đó, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

R=−b±√b2−4ac2a𝑅=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

Ở đây, a=1,b=24,𝑎=1,𝑏=24, và c=−144𝑐=−144. Thực hiện các phép tính:

R=−24±√242−4⋅1⋅(−144)2⋅1𝑅=−24±242−4⋅1⋅(−144)2⋅1

R=−24±√576+5762𝑅=−24±576+5762

R=−24±√11522𝑅=−24±11522

R=−24±24√22𝑅=−24±2422

R=−12±12√2𝑅=−12±122

Vì R𝑅 phải là một giá trị dương, nên ta chọn R=−12+12√2𝑅=−12+122 vì nó lớn hơn 0.

Vậy, thể tích của quả cầu lớn gần nhất là:

V=43πR3𝑉=43𝜋𝑅3

V=43π(−12+12√2)3𝑉=43𝜋(−12+122)3

Tính toán giá trị số, ta có:

V≈23879.5cm3𝑉≈23879.5cm3

Vậy thể tích của quả cầu lớn gần nhất là khoảng 23879.5 cm3cm3.