Để tính thể tích khối nón được tạo ra khi quay tam giác vuông \( \triangle ABC \) quanh cạnh \( AB \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các cạnh của tam giác vuông \( \triangle ABC \):**
- \( AC = a \)
- \( BC = a\sqrt{3} \)
- Do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý Pythagoras ta có:
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - a^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

2. **Xác định các thành phần của khối nón:**
- Đường cao của khối nón chính là cạnh \( AB = a\sqrt{2} \).
- Bán kính đáy của khối nón chính là cạnh \( AC = a \).

3. **Tính thể tích khối nón:**
Công thức thể tích của một khối nón là:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
Trong đó:
- \( r \) là bán kính đáy: \( r = a \)
- \( h \) là chiều cao: \( h = a\sqrt{2} \)

Thay các giá trị này vào công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \pi (a)^2 (a\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi a^2 \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi a^3 \sqrt{2}
\]

Vậy, thể tích của khối nón là:
\[
V = \frac{1}{3} \pi a^3 \sqrt{2}
\]