Để xác định số giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{x+2}{x+5m} \) đồng biến trên khoảng \((-\infty; -10)\), ta cần kiểm tra điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng này.

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \)

Hàm số \( y = \frac{x+2}{x+5m} \) có đạo hàm là:
\[
y' = \frac{(x+5m)'(x+2) - (x+2)'(x+5m)}{(x+5m)^2} = \frac{(1)(x+2) - (1)(x+5m)}{(x+5m)^2}
\]
\[
y' = \frac{x + 2 - x - 5m}{(x+5m)^2} = \frac{2 - 5m}{(x+5m)^2}
\]

### Bước 2: Xét điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; -10)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; -10)\) khi và chỉ khi \( y' \geq 0 \) trên khoảng này. Điều này tương đương với:
\[
\frac{2 - 5m}{(x+5m)^2} \geq 0
\]

Do \((x+5m)^2\) luôn dương với mọi \( x \), dấu của đạo hàm \( y' \) sẽ phụ thuộc vào tử số \( 2 - 5m \).

### Bước 3: Xét dấu của \( 2 - 5m \)

Để \( \frac{2 - 5m}{(x+5m)^2} \geq 0 \) trên khoảng \((-\infty; -10)\), tử số \( 2 - 5m \) phải không âm:
\[
2 - 5m \geq 0
\]
\[
5m \leq 2
\]
\[
m \leq \frac{2}{5}
\]

Vì \( m \) là số nguyên, giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện này là:
\[
m \leq \frac{2}{5} \Rightarrow m \leq 0
\]

### Bước 4: Xác định các giá trị nguyên của \( m \)

Các giá trị nguyên của \( m \) nhỏ hơn hoặc bằng 0 là: \( m = 0, -1, -2, -3, \ldots \)

### Kết luận

Có vô hạn giá trị nguyên của \( m \) để hàm số \( y = \frac{x+2}{x+5m} \) đồng biến trên khoảng \((-\infty; -10)\).