Để chứng minh tam giác \( CHM \) đồng dạng với tam giác \( CAH \), ta có:

Vì \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( AH \) là phân giác của góc \( \angle CAM \). Tương tự, \( BK \) cũng là phân giác của góc \( \angle CBA \).

Do đó, ta có:
\[ \angle HCA = \angle CAM = \angle ACH \]
\[ \angle HCM = \angle CBK = \angle CBH \]

Vậy, theo góc đồng dạng, ta có tam giác \( CHM \) đồng dạng với tam giác \( CAH \).

Để chứng minh \( BC = 2 \cdot CK \) và \( BC = 3 \cdot BK \), ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông \( BCH \):
\[ BH^2 + HC^2 = BC^2 \]

Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( BH = HC \).

\[ 2BH^2 = BC^2 \]
\[ BC = \sqrt{2} \cdot BH \]

Và vì \( BH = CK \), ta có:
\[ BC = \sqrt{2} \cdot CK \]

\[ BC = 3 \cdot BK \] do tam giác \( ABC \) cân và \( BK \) là phân giác của góc \( \angle CBA \).

Về phần chứng minh \( AI \) vuông góc với \( BM \), ta sử dụng tính chất của đoạn trung điểm:

Vì \( I \) là trung điểm của \( HM \), nên \( HI = IM \).
Và vì \( BH \) là phân giác của \( \angle ABC \), nên \( \angle BHI = \angle IHC \).

Vậy, hai tam giác \( BHI \) và \( CHI \) là tam giác cân, do đó \( BI \) và \( CI \) là đường cao của chúng.
Điều này ngụ ý rằng \( AI \) là đường cao của tam giác \( BMI \), do đó \( AI \) vuông góc với \( BM \).

Cuối cùng, để chứng minh tam giác \( BMC \) đồng dạng với tam giác \( AIH \), ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các cạnh:

Vì \( BC = 2 \cdot CK \), \( BI = IH \) (vì \( I \) là trung điểm của \( HM \)), và \( \angle BCI = \angle HBI = \angle IHC \), nên theo góc đồng dạng, ta có tam giác \( BMC \) đồng dạng với tam giác \( AIH \).