Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả sử \(AB = a\), \(BC = b\), \(AC = c\), và \(AH = h\).

### A. Chứng Minh: \(\Delta ABC\) Đồng Dạng với \(\Delta HBA\)

Ta thấy \(\angle ABC = 90^\circ\) và \(\angle HBA = 90^\circ\) (vì \(AH\) là đường cao). Hơn nữa, \(\angle BAC = \angle HAB\) (vì đường phân giác \(AE\) của \(\angle BAC\) cắt \(AH\)). Vì vậy, theo góc - góc - góc, chúng ta có thể kết luận rằng \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HBA\).

### B. Chứng Minh: \(AB^2 = BC \cdot BH\)

Vì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HBA\), ta có:
\[
\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AC} \quad \text{(1)}
\]
Tuy nhiên, \(AC = BC + AB\) (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABC\)), nên ta có:
\[
\frac{BC + AB}{AB} = \frac{BC}{AB} + 1 \quad \text{(2)}
\]
Từ \((1)\) và \((2)\), ta có:
\[
1 + \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{AB} + 1 \Rightarrow AB = HB
\]
Vậy \(AB^2 = BC \cdot HB\).

### C. Chứng Minh: \(EI \cdot EB = EH \cdot EA\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(ED\), ta có \(EI = IB\) và \(ID = DI\). Từ đó, ta có:
\[
EI \cdot EB = IB \cdot EB = \text{Diện tích của tam giác } EIB
\]
\[
EH \cdot EA = \text{Diện tích của tam giác } EHA
\]
Vì \(\Delta EIB\) và \(\Delta EHA\) có cùng một đỉnh \(E\) và cùng đỉnh \(A\), nên diện tích của chúng tỉ lệ với độ dài cạnh đối với \(E\) và \(A\). Do đó, \(EI \cdot EB = EH \cdot EA\).

...Xem thêm

Answer 2