Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp tổ hợp.

Ta cần chia bài toán thành các trường hợp sau:
1. Lấy ra 10 bi từ 3 loại bi khác nhau.
2. Lấy ra 10 bi từ 2 loại bi khác nhau.
3. Lấy ra 10 bi từ 1 loại bi.

**1. Lấy ra 10 bi từ 3 loại bi khác nhau:**

Trong trường hợp này, ta cần lấy ra ít nhất một viên bi từ mỗi loại. Vậy ta cần phải xem xét các trường hợp về số lượng bi lấy ra từ mỗi loại.

- Lấy 1 bi xanh, 1 bi vàng và 8 bi đỏ: \( C(4,1) \times C(4,1) \times C(12,8) \)
- Lấy 2 bi xanh, 1 bi vàng và 7 bi đỏ: \( C(4,2) \times C(4,1) \times C(12,7) \)
- Lấy 2 bi xanh, 2 bi vàng và 6 bi đỏ: \( C(4,2) \times C(4,2) \times C(12,6) \)
- Lấy 3 bi xanh, 1 bi vàng và 6 bi đỏ: \( C(4,3) \times C(4,1) \times C(12,6) \)

Tổng số cách lấy ra 10 viên bi từ 3 loại bi khác nhau là tổng của các trường hợp trên.

**2. Lấy ra 10 bi từ 2 loại bi khác nhau:**

Ta có thể chọn 2 trong 3 loại bi để lấy ra. Sau đó, ta cần xem xét các trường hợp về số lượng bi lấy ra từ mỗi loại.

- Lấy ra 10 bi xanh và vàng: \( C(4+4,10) \)
- Lấy ra 10 bi xanh và đỏ: \( C(4+12,10) \)
- Lấy ra 10 bi vàng và đỏ: \( C(4+12,10) \)

Tổng số cách lấy ra 10 viên bi từ 2 loại bi khác nhau là tổng của các trường hợp trên.

**3. Lấy ra 10 bi từ 1 loại bi:**

Ta có 3 loại bi, vậy ta có 3 cách chọn loại bi để lấy ra.

Tổng số cách lấy ra 10 viên bi từ 1 loại bi là tổng của 3 trường hợp trên.

Sau đó, ta cộng tổng số cách lấy ra từ các trường hợp trên lại với nhau để tìm ra tổng số cách lấy ra 10 viên bi sao cho trong đó có đủ ba loại.