Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( A < 1 \), ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( A \) và so sánh nó với 1.

\[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{10^2} \]

Để tính giá trị của \( A \), ta tính tử số và mẫu số của từng phân số rồi cộng chúng lại:

\[ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{100} \]

\[ A = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{25} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{81} + \frac{1}{100} \right) \]

\[ A = \frac{13}{36} + \frac{41}{400} + \ldots + \frac{181}{8100} \]

Khi cộng hết các phân số, ta có giá trị của \( A \). Tuy nhiên, để chứng minh rằng \( A < 1 \), ta cũng có thể sử dụng một phương pháp khác.

Nhắc lại rằng \( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \) với mọi \( n > 1 \). Vì vậy:

\[ A < \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3} + \ldots + \frac{1}{10 \times 9} \]

\[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{90} \]

\[ = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{45} \right) \]

Đây là một dãy hình như dãy harmonic, và dãy harmonic này có giới hạn dưới là 1. Do đó, \( A < \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} < 1 \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( A < 1 \).

...Xem thêm

Answer 2