Để chứng minh:

\[\frac{x - y}{1 + xy} + \frac{y - z}{1 + yz} + \frac{z - x}{1 + zx} = x - y \frac{1 + xy}{1 + xy} \cdot y - z \frac{1 + yz}{1 + yz} \cdot z - x \frac{1 + zx}{1 + zx}\]

Ta bắt đầu bằng cách chia các phần tử trong phân số:

\[\frac{x - y}{1 + xy} = \frac{(x - y)(1 + xy)}{(1 + xy)} = \frac{x - y + xy - xy^2}{1 + xy}\]

\[\frac{y - z}{1 + yz} = \frac{(y - z)(1 + yz)}{(1 + yz)} = \frac{y - z + y^2z - y^2z^2}{1 + yz}\]

\[\frac{z - x}{1 + zx} = \frac{(z - x)(1 + zx)}{(1 + zx)} = \frac{z - x + zx^2 - zx^2z}{1 + zx}\]

Bây giờ ta cộng các phân số lại với nhau:

\[\frac{x - y}{1 + xy} + \frac{y - z}{1 + yz} + \frac{z - x}{1 + zx}\]
\[= \frac{x - y + xy - xy^2}{1 + xy} + \frac{y - z + y^2z - y^2z^2}{1 + yz} + \frac{z - x + zx^2 - zx^2z}{1 + zx}\]

Sau khi tổng hợp, ta có:
\[= \frac{x - y + xy - xy^2 + y - z + y^2z - y^2z^2 + z - x + zx^2 - zx^2z}{1 + xy + 1 + yz + 1 + zx}\]
\[= \frac{x - y + y - z + z - x + xy + y^2z + zx^2 - xy^2 - y^2z^2 - zx^2z}{1 + xy + yz + zx}\]

Các thành phần "x", "y", "z" sẽ hủy bỏ nhau khi cộng lại:

\[= \frac{0 + 0 + 0 + xy + y^2z + zx^2 - xy^2 - y^2z^2 - zx^2z}{1 + xy + yz + zx}\]

\[= \frac{xy - xy^2 - xy^2 + xy^3 + y^2z + zx^2 - xy^2 - y^2z^2 - zx^2z}{1 + xy + yz + zx}\]

Tiếp tục rút gọn:

\[= \frac{xy + y^2z + zx^2 - xy^2 - y^2z^2 - zx^2z}{1 + xy + yz + zx}\]

\[= \frac{xy(1 - y) + yz(y - z) + zx(z - x)}{1 + xy + yz + zx}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{1 + xy + yz + zx}\]

Nhận thấy rằng \(x - y + y - z + z - x = 0\), do đó:

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{1 + xy + yz + zx}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 + xy) + (1 + yz) + (1 + zx) - 3}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 + xy) + (1 + yz) + (1 + zx) - (1 + xy + yz + zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 + xy) + (1 + yz) + (1 + zx) - (1 + xy + yz + zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 + xy - xy - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

Cuối cùng, ta nhận thấy rằng:

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (y - z)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) + (z - y)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z) - (x - y)(z - x) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(y - z - z + x) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(x - z) + (z - x)(x - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(x - z) - (x - y)(z - x)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(x - z - z + x)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(2x - z - y)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(x - y - z)}{(1 - yz - zx)}\]

\[= \frac{(x - y)(x - y - z)}{1 - yz - zx}\]

\[= \frac{(x - y)}{1 + xy} \cdot \frac{(x - y)(y - z)}{1 + yz} \cdot \frac{(z - x)}{1 + zx}\]

Vậy ta đã