a) Để chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C, ta cần chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với \(SD\).

Vì \(O\) là tâm của đa giác \(ABCD\), nên ta có \(OC\) là đường phân giác của góc \(\angle AOB\). Do đó, ta có:
\[\angle SOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ\]

Tương tự, ta có \(\angle SOD = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ\).

Vậy \(SCD\) là tam giác cân tại \(C\), từ đó suy ra \(SC\) vuông góc với \(SD\), và do đó \(\angle SCD\) vuông góc với \(\angle SOI\).

b) Để tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((SCD)\), ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách này chính là độ dài của đoạn thẳng vuông góc kích từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \((SCD)\).

Vì \(SCD\) là mặt phẳng đi qua \(S\) và vuông góc với \(SC\), ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trên tam giác \(SOC\) để tính khoảng cách này.

\[OC^2 = OS^2 - SC^2\]
\[OC^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2\]

Vậy, khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((SCD)\) là \(\sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

c) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\), ta cần tính khoảng cách từ một điểm trên \(BD\) đến \(SC\).

Do \(SCD\) là tam giác vuông tại \(C\), ta biết rằng \(SC\) là đoạn vuông góc với mặt phẳng \(SCD\). Vì vậy, để tính khoảng cách giữa \(BD\) và \(SC\), ta chỉ cần tính khoảng cách từ một điểm trên \(BD\) đến mặt phẳng \(SCD\), cũng chính là đoạn thẳng \(SC\).

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\).