Để phân tích hàm số \( \frac{x + 1}{9^x} \), ta cần xem xét các đặc tính của nó:

1. **Miền xác định **: Hàm số này tồn tại cho mọi giá trị của \( x \), ngoại trừ khi mẫu \( 9^x \) bằng 0, tức là khi \( x = -\infty \).

2. **Đồ thị**:
- Khi \( x \) tiến đến âm vô cùng, \( 9^x \) tiến đến 0, dẫn đến hàm số tiến gần về 0.
- Khi \( x \) tăng lên, hàm số giảm dần về 0, vì \( 9^x \) tăng lên nhanh chóng.
- Đồ thị của hàm số sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 1/9, với giá trị tại \( x = 0 \) là 1.

3. **Điểm cực trị và biên độ**: Hàm số không có điểm cực trị. Biên độ của nó giới hạn trong khoảng từ 0 đến 1/9.

4. **Đồ thị hợp lệ**: Đồ thị của hàm số này là một đường cong liên tục và không có nhảy khúc.

5. **Điểm cắt trục hoành và trục tung**:
- Điểm cắt trục hoành: \( (0, 1) \)
- Điểm cắt trục tung: Không có, vì \( 9^x \) không bao giờ đạt đến giá trị 0.

6. **Đạo hàm**:
- Đạo hàm của hàm số \( \frac{x + 1}{9^x} \) có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc tích và phép tính đạo hàm của các hàm số mũ.
- Đạo hàm sẽ cho biết hướng tăng và giảm của hàm số, và vị trí của các điểm cực trị.

Tóm lại, hàm số \( \frac{x + 1}{9^x} \) là một hàm số mũ giảm và hàm số này có điểm cắt trục hoành là \( (0, 1) \).