Đầu tiên, giải hệ phương trình của hai đường tròn (C1) và (C2) để tìm tọa độ của các điểm cắt nhau A và B.

Hệ phương trình của hai đường tròn:

(C1): \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \)

(C2): \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \)

Để giải hệ phương trình này, trừ (C1) từ (C2):

\( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - ((x - 1)^2 + (y - 2)^2) = 9 - 4 \)

Mở ngoặc và rút gọn, ta được:

\( x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 - (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = 5 \)

\( x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 - x^2 + 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 = 5 \)

Rút gọn:

\( -6x + 6y = 5 \)

Suy ra:

\( y = x - \frac{5}{6} \)

Thay vào (C1) hoặc (C2), ta có:

\( (x - 1)^2 + \left(x - \frac{5}{6} - 2\right)^2 = 4 \)

Giải phương trình trên ta được:

\( x = \frac{1}{3} \) hoặc \( x = \frac{17}{3} \)

Khi đó, tọa độ của hai điểm A và B lần lượt là \( A\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right) \) và \( B\left(\frac{17}{3}, \frac{17}{6}\right) \).

Tiếp theo, để tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB, ta cần tìm phương trình của đường thẳng AB. 

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A và B có thể được tìm bằng công thức đường thẳng qua hai điểm:

\( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \)

Thay vào giá trị của A và B, ta có:

\( y - \frac{1}{6} = \frac{\frac{17}{6} - \frac{1}{6}}{\frac{17}{3} - \frac{1}{3}}\left(x - \frac{1}{3}\right) \)

Simplifying:

\( y - \frac{1}{6} = \frac{8}{17}(x - \frac{1}{3}) \)

\( y - \frac{1}{6} = \frac{8}{17}x - \frac{8}{51} \)

\( y = \frac{8}{17}x + \frac{3}{34} \)

Bây giờ chúng ta cần tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng này. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng là:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

Trong đó \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm trên đường thẳng mà chúng ta muốn tính khoảng cách, và A, B, C là các hệ số trong phương trình đường thẳng. 

Ở đây, A = 8/17, B = -1, và C = 3/34.

\( d = \frac{|(8/17) * 0 + (-1) * 0 + 3/34|}{\sqrt{(8/17)^2 + (-1)^2}} \)

\( d = \frac{3/34}{\sqrt{64/289 + 1}} \)

\( d = \frac{3/34}{\sqrt{5121/289}} \)

\( d = \frac{3/34}{71.54/17} \)

\( d ≈ \frac{0.088}{4.21} \)

\( d ≈ 0.021 \)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB là khoảng 0.021 đơn vị.

Viết phương trình hai đường tròn dưới dạng đoạn chắn:

-` (C1): (x - 1)² + (y - 2)² = 4 => (x - 1)² ≤ 4 => x ∈ [1 - 2; 1 + 2] = [-1; 3]`

    `+ (y - 2)² ≤ 4 => y ∈ [2 - 2; 2 + 2] = [0; 4]`

- `(C2): (x - 2)² + (y + 1)² = 9 => (x - 2)² ≤ 9 => x ∈ [2 - 3; 2 + 3] = [-1; 5]`

    `+ (y + 1)² ≤ 9 => y ∈ [-2; 6]`

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: A(-1, 2) và B(3, -1) là hai điểm thỏa mãn đề bài.

 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

Vectơ `AB = B - A = (3 - (-1), -1 - 2) = (4, -3)`

- Viết phương trình đường thẳng AB dạng tổng quát:

Chọn điểm A(-1, 2) làm điểm thuộc đường thẳng, ta có:

`(x + 1)/4 = (y - 2)/-3 ⇔ 3x + 4y = -5`

Tính khoảng cách từ O(0, 0) đến đường thẳng AB:

Khoảng cách từ O đến AB chính là độ dài đoạn vuông góc hạ từ O xuống AB.

- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB:

Vectơ `n = (3, 4)`

- Tính tọa độ điểm H - chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB:

Gọi H(x, y) là điểm vuông góc với AB. Ta có:

Vectơ OH vuông góc với vectơ n ⇔ vectơ OH . vectơ n = 0

`⇔ (x - 0)(3) + (y - 0)(4) = 0 ⇔ 3x + 4y = 0`

Giải hệ phương trình:

`3x + 4y = -5`

`3x + 4y = 0`

Ta tìm được `H(-5/3, 25/12).`

- Tính khoảng cách từ O đến AB:

Khoảng cách từ O đến `AB = |OH| = √((-5/3)² + (25/12)²) = 5√13 / 12`

Vậy, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy là` 5√13 / 12`.