a) Ta có tam giác ABC vuông tại A. Vì vậy, đường cao AH là đường trung tuyến của tam giác ABH. Do đó, ta có:
- \( \angle AHB = \angle AHA = 90^\circ \) (vì AH là đường cao),
- \( AB = AH \) (vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABH).

Vậy, tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC theo ĐTTT (đồng dạng tam giác).

Do đó, ta có: \( \frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC} \) hay \( AH \cdot AC = AB^2 \).

b) Vì M là trung điểm của AC, nên ta có: \( AM = MC = \frac{AC}{2} \).

Gọi \( \angle MNB = \alpha \), ta có:
- \( \angle MNA = 90^\circ \) (vì MN vuông góc với BC),
- \( \angle ANB = \angle BAC = 90^\circ \) (vì tam giác ABC vuông tại A).

Áp dụng định lý Sin trong tam giác AMN và tam giác ANB, ta có:
\[ \frac{AB}{MN} = \frac{AN}{AM} \]
\[ \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{AC} \]

Kết hợp hai công thức trên, ta có:
\[ \frac{AB}{MN} = \frac{AN}{AM} = \frac{AN}{\frac{AC}{2}} = \frac{2 \cdot AN}{AC} \]
\[ \Rightarrow \frac{AB}{MN} = \frac{2 \cdot AN}{AC} = \frac{2 \cdot (AN + NC)}{AC} = \frac{2 \cdot AB}{AC} \]
\[ \Rightarrow AB \cdot AC = 2 \cdot AB \cdot MN \]
\[ \Rightarrow \frac{AB}{MN} = \frac{AC}{2} \cdot \frac{2}{AB} = \frac{AC}{NC} \]

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AN và AB. Ta cần chứng minh rằng B là trung điểm của AK.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên \( \angle AHB = 90^\circ \). Do đó, HK là đường cao của tam giác AKH. Vậy, ta có:
\[ \frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AK} \]
\[ \Rightarrow AH \cdot AK = AB^2 \]

Nhưng theo phần a), ta đã chứng minh được rằng \( AH \cdot AC = AB^2 \).

Do đó, \( AH \cdot AK = AH \cdot AC \), tức AK = AC.

Vậy, B là trung điểm của AK.