a. Về hình chiếu của AB và AC lên BC:
Hình chiếu của AB lên BC là đoạn BM và hình chiếu của AC lên BC là đoạn CN. Vì M và N là trung điểm của AB và AC, nên BM = MN = NC. Như vậy, hình chiếu của AB và AC lên BC đều có độ dài bằng nhau. Do tam giác ABC là tam giác cân, nên BH = CH.

b. Vì M và N là trung điểm của các cạnh AB và AC, nên MN song song với BC theo tính chất của trung điểm.

c. Ta cần chứng minh rằng 3 điểm C, K, M thẳng hàng:
Do tam giác ABC là tam giác cân, nên AH là đối xứng với BC qua trung điểm M. Vì vậy, MK là đường cao của tam giác ABC, và do BN cắt AH tại K, nên ta có tứ giác ABMK là hình bình hành. Do đó, ta có \(\angle BMK = \angle BAK\). Nhưng \(\angle BAK\) và \(\angle BAC\) là hai góc cùng nằm trên cùng một đường thẳng AK, nên ta có \(\angle BMK = \angle BAC\).
Tương tự, ta cũng có \(\angle MCB = \angle BAC\).
Vậy ta có \(\angle BMK = \angle MCB\), suy ra \(MK\) song song với \(BC\).
Từ đó, ta suy ra 3 điểm C, K, M thẳng hàng.

d. Ta cần chứng minh rằng \(BA + BC > 2BM\):
Vì \(BM = MN = NC\), nên \(2BM = BC\). Khi đó, \(BA + BC = BA + 2BM\). Nhưng \(BA\) là đoạn dài nhất trong tam giác ABC, nên \(BA > BC\). Từ đó, ta có \(BA + BC > 2BM\).

a. Về hình chiếu của AB và AC lên BC:
Hình chiếu của AB lên BC là đoạn BM và hình chiếu của AC lên BC là đoạn CN. Vì M và N là trung điểm của AB và AC, nên BM = MN = NC. Như vậy, hình chiếu của AB và AC lên BC đều có độ dài bằng nhau. Do tam giác ABC là tam giác cân, nên BH = CH.

b. Vì M và N là trung điểm của các cạnh AB và AC, nên MN song song với BC theo tính chất của trung điểm.

c. Ta cần chứng minh rằng 3 điểm C, K, M thẳng hàng:
Do tam giác ABC là tam giác cân, nên AH là đối xứng với BC qua trung điểm M. Vì vậy, MK là đường cao của tam giác ABC, và do BN cắt AH tại K, nên ta có tứ giác ABMK là hình bình hành. Do đó, ta có ∠BMK=∠BAK∠𝐵𝑀𝐾=∠𝐵𝐴𝐾. Nhưng ∠BAK∠𝐵𝐴𝐾 và ∠BAC∠𝐵𝐴𝐶 là hai góc cùng nằm trên cùng một đường thẳng AK, nên ta có ∠BMK=∠BAC∠𝐵𝑀𝐾=∠𝐵𝐴𝐶.
Tương tự, ta cũng có ∠MCB=∠BAC∠𝑀𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶.
Vậy ta có ∠BMK=∠MCB∠𝐵𝑀𝐾=∠𝑀𝐶𝐵, suy ra MK𝑀𝐾 song song với BC𝐵𝐶.
Từ đó, ta suy ra 3 điểm C, K, M thẳng hàng.

d. Ta cần chứng minh rằng BA+BC>2BM𝐵𝐴+𝐵𝐶>2𝐵𝑀:
Vì BM=MN=NC𝐵𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐶, nên 2BM=BC2𝐵𝑀=𝐵𝐶. Khi đó, BA+BC=BA+2BM𝐵𝐴+𝐵𝐶=𝐵𝐴+2𝐵𝑀. Nhưng BA𝐵𝐴 là đoạn dài nhất trong tam giác ABC, nên BA>BC𝐵𝐴>𝐵𝐶. Từ đó, ta có BA+BC>2BM𝐵𝐴+𝐵𝐶>2𝐵𝑀.