Để chứng minh rằng tam giác $IKF$ đồng dạng với tam giác $DEF$ và $EI = IK$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh tam giác $IKF$ đồng dạng với tam giác $DEF$:

Ta có:

1. Tam giác $DEF$ là tam giác vuông tại $D$.
2. $I$ là trung điểm của cạnh $EF$ (do là điểm giao của đường phân giác và cạnh đối diện trong tam giác vuông).

Do đó, ta có $DI = IF$.

3. $IK$ là đường phân giác của góc $FID$.

Suy ra, $IK$ chia góc $FID$ thành hai góc bằng nhau.

Khi đó, theo Định lí góc đồng dạng (AA):

- Góc $FID$ trong tam giác $DEF$ đồng dạng với góc $FIK$ trong tam giác $IKF$.
- Góc $DIF$ trong tam giác $DEF$ đồng dạng với góc $IKF$ trong tam giác $IKF$.

Vậy, theo quy tắc $AA$ (Góc - Góc), ta kết luận được tam giác $IKF$ đồng dạng với tam giác $DEF$.

b) Chứng minh $EI = IK$:

Ta có $DI = IF$ (do $I$ là trung điểm của $EF$).

Vì $IK$ là đường phân giác của góc $FID$, nên $IK$ chia góc $FID$ thành hai góc bằng nhau.

Do đó, $IFK$ là tam giác cân, nên $IK = KF$.

Vậy, $EI = EF - IF = EF - IK = EK$.

$IK = KF$ (do $IFK$ là tam giác cân).

Vậy, $EI = IK$.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.

Để chứng minh rằng tam giác IKF𝐼𝐾𝐹 đồng dạng với tam giác DEF𝐷𝐸𝐹 và EI=IK𝐸𝐼=𝐼𝐾, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tam giác IKF𝐼𝐾𝐹 đồng dạng với tam giác DEF𝐷𝐸𝐹:

Ta có:

1. Tam giác DEF𝐷𝐸𝐹 là tam giác vuông tại D𝐷.
2. I𝐼 là trung điểm của cạnh EF𝐸𝐹 (do là điểm giao của đường phân giác và cạnh đối diện trong tam giác vuông).

Do đó, ta có DI=IF𝐷𝐼=𝐼𝐹.

3. IK𝐼𝐾 là đường phân giác của góc FID𝐹𝐼𝐷.

Suy ra, IK𝐼𝐾 chia góc FID𝐹𝐼𝐷 thành hai góc bằng nhau.

Khi đó, theo Định lí góc đồng dạng (AA):

- Góc FID𝐹𝐼𝐷 trong tam giác DEF𝐷𝐸𝐹 đồng dạng với góc FIK𝐹𝐼𝐾 trong tam giác IKF𝐼𝐾𝐹.
- Góc DIF𝐷𝐼𝐹 trong tam giác DEF𝐷𝐸𝐹 đồng dạng với góc IKF𝐼𝐾𝐹 trong tam giác IKF𝐼𝐾𝐹.

Vậy, theo quy tắc AA𝐴𝐴 (Góc - Góc), ta kết luận được tam giác IKF𝐼𝐾𝐹 đồng dạng với tam giác DEF𝐷𝐸𝐹.

### b) Chứng minh EI=IK𝐸𝐼=𝐼𝐾:

Ta có DI=IF𝐷𝐼=𝐼𝐹 (do I𝐼 là trung điểm của EF𝐸𝐹).

Vì IK𝐼𝐾 là đường phân giác của góc FID𝐹𝐼𝐷, nên IK𝐼𝐾 chia góc FID𝐹𝐼𝐷 thành hai góc bằng nhau.

Do đó, IFK𝐼𝐹𝐾 là tam giác cân, nên IK=KF𝐼𝐾=𝐾𝐹.

Vậy, EI=EF−IF=EF−IK=EK𝐸𝐼=𝐸𝐹−𝐼𝐹=𝐸𝐹−𝐼𝐾=𝐸𝐾.

IK=KF𝐼𝐾=𝐾𝐹 (do IFK𝐼𝐹𝐾 là tam giác cân).

Vậy, EI=IK𝐸𝐼=𝐼𝐾.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.